Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 35872 / 21536
↖ ↑ ↗
← N 52.375599°
E 17.050781°		 ← 372.91 m → N 52.375599°
E 17.056275°		 →
↑
372.89 m
↓
↑
372.89 m
↓
N 52.372245°
E 17.050781°		 ← 372.94 m →
139 063 m²		 N 52.372245°
E 17.056275°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35872 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21536 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.547370910644531 y=0.328620910644531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.547370910644531 × 216)
    floor (0.547370910644531 × 65536)
    floor (35872.5)     		tx = 35872
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.328620910644531 × 216)
    floor (0.328620910644531 × 65536)
    floor (21536.5)     		ty = 21536
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35872 / 21536 ti = "16/35872/21536"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35872/21536.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35872 ÷ 216
    35872 ÷ 65536     		x = 0.54736328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21536 ÷ 216
    21536 ÷ 65536     		y = 0.32861328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.54736328125 × 2 - 1) × π
    0.0947265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.29759227
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32861328125 × 2 - 1) × π
    0.3427734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.07685451306494
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.29759227} λ = 0.29759227}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07685451306494))-π/2
    2×atan(2.93543165220719)-π/2
    2×1.24246149005682-π/2
    2.48492298011364-1.57079632675     		φ = 0.91412665
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.29759227} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.050781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91412665 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.375599°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35872 KachelY 21536 0.29759227 0.91412665 17.050781 52.375599
    Oben rechts KachelX + 1 35873 KachelY 21536 0.29768815 0.91412665 17.056275 52.375599
    Unten links KachelX 35872 KachelY + 1 21537 0.29759227 0.91406812 17.050781 52.372245
    Unten rechts KachelX + 1 35873 KachelY + 1 21537 0.29768815 0.91406812 17.056275 52.372245
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91412665-0.91406812) × R
    5.85300000000011e-05 × 6371000     		dl = 372.894630000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91412665-0.91406812) × R
    5.85300000000011e-05 × 6371000     		dr = 372.894630000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.29759227-0.29768815) × cos(0.91412665) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.61048252732382 × 6371000     		do = 372.914155329867m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.29759227-0.29768815) × cos(0.91406812) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.61052888377786 × 6371000     		du = 372.942472238425m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91412665)-sin(0.91406812))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.61048252732382-0.61052888377786)×R²
    abs(0.29768815-0.29759227)×4.63564540406081e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.63564540406081e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.63564540406081e-05×40589641000000     		ar = 139062.965624744m²