Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3592 / 2568
↖ ↑ ↗
← S 41.508577°
E135.703125°		 ← 7 318.56 m → S 41.508577°
E135.791016°		 →
↑
7 314.86 m
↓
↑
7 314.86 m
↓
S 41.574361°
E135.703125°		 ← 7 311.12 m →
53 507 093 m²		 S 41.574361°
E135.791016°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3592 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2568 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.8770751953125 y=0.6270751953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.8770751953125 × 212)
    floor (0.8770751953125 × 4096)
    floor (3592.5)     		tx = 3592
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6270751953125 × 212)
    floor (0.6270751953125 × 4096)
    floor (2568.5)     		ty = 2568
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3592 / 2568 ti = "12/3592/2568"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3592/2568.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3592 ÷ 212
    3592 ÷ 4096     		x = 0.876953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2568 ÷ 212
    2568 ÷ 4096     		y = 0.626953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.876953125 × 2 - 1) × π
    0.75390625 × 3.1415926535     		Λ = 2.36846634
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.626953125 × 2 - 1) × π
    -0.25390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.797670009677734
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.36846634} λ = 2.36846634}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.797670009677734))-π/2
    2×atan(0.450377116873829)-π/2
    2×0.423167492576542-π/2
    0.846334985153084-1.57079632675     		φ = -0.72446134
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.36846634} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 135.703125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72446134 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.508577°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3592 KachelY 2568 2.36846634 -0.72446134 135.703125 -41.508577
    Oben rechts KachelX + 1 3593 KachelY 2568 2.37000032 -0.72446134 135.791016 -41.508577
    Unten links KachelX 3592 KachelY + 1 2569 2.36846634 -0.72560949 135.703125 -41.574361
    Unten rechts KachelX + 1 3593 KachelY + 1 2569 2.37000032 -0.72560949 135.791016 -41.574361
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72446134--0.72560949) × R
    0.00114815000000001 × 6371000     		dl = 7314.86365000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72446134--0.72560949) × R
    0.00114815000000001 × 6371000     		dr = 7314.86365000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.36846634-2.37000032) × cos(-0.72446134) × R
    0.00153398000000005 × 0.748856517896165 × 6371000     		do = 7318.56469974497m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.36846634-2.37000032) × cos(-0.72560949) × R
    0.00153398000000005 × 0.748095108544688 × 6371000     		du = 7311.12345637109m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72446134)-sin(-0.72560949))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.748856517896165-0.748095108544688)×R²
    abs(2.37000032-2.36846634)×0.000761409351477615×R²
    0.00153398000000005×0.000761409351477615×6371000²
    0.00153398000000005×0.000761409351477615×40589641000000     		ar = 53507092.9299748m²