Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 3600 / 2576
↖ ↑ ↗
← N 55.379110°
W 21.796875°		 ← 2 776.27 m → N 55.379110°
W 21.752929°		 →
↑
2 777.06 m
↓
↑
2 777.06 m
↓
N 55.354136°
W 21.796875°		 ← 2 778.02 m →
7 712 281 m²		 N 55.354136°
W 21.752929°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3600 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2576 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.43951416015625 y=0.31451416015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.43951416015625 × 213)
    floor (0.43951416015625 × 8192)
    floor (3600.5)     		tx = 3600
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.31451416015625 × 213)
    floor (0.31451416015625 × 8192)
    floor (2576.5)     		ty = 2576
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3600 / 2576 ti = "13/3600/2576"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3600/2576.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3600 ÷ 213
    3600 ÷ 8192     		x = 0.439453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2576 ÷ 213
    2576 ÷ 8192     		y = 0.314453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439453125 × 2 - 1) × π
    -0.12109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.38042724
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.314453125 × 2 - 1) × π
    0.37109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.16582539875977
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38042724} λ = -0.38042724}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.16582539875977))-π/2
    2×atan(3.2085701403456)-π/2
    2×1.26867207045967-π/2
    2.53734414091934-1.57079632675     		φ = 0.96654781
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38042724} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.796875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96654781 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.379110°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3600 KachelY 2576 -0.38042724 0.96654781 -21.796875 55.379110
    Oben rechts KachelX + 1 3601 KachelY 2576 -0.37966024 0.96654781 -21.752929 55.379110
    Unten links KachelX 3600 KachelY + 1 2577 -0.38042724 0.96611192 -21.796875 55.354136
    Unten rechts KachelX + 1 3601 KachelY + 1 2577 -0.37966024 0.96611192 -21.752929 55.354136
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96654781-0.96611192) × R
    0.000435889999999994 × 6371000     		dl = 2777.05518999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96654781-0.96611192) × R
    0.000435889999999994 × 6371000     		dr = 2777.05518999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38042724--0.37966024) × cos(0.96654781) × R
    0.000767000000000018 × 0.568143819206898 × 6371000     		do = 2776.26715675227m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38042724--0.37966024) × cos(0.96611192) × R
    0.000767000000000018 × 0.568502471865926 × 6371000     		du = 2778.01973341381m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96654781)-sin(0.96611192))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.568143819206898-0.568502471865926)×R²
    abs(-0.37966024--0.38042724)×0.000358652659028125×R²
    0.000767000000000018×0.000358652659028125×6371000²
    0.000767000000000018×0.000358652659028125×40589641000000     		ar = 7712280.73965251m²