Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36992 / 28800
↖ ↑ ↗
← N 21.289374°
E 23.203125°		 ← 569.11 m → N 21.289374°
E 23.208618°		 →
↑
569.12 m
↓
↑
569.12 m
↓
N 21.284256°
E 23.203125°		 ← 569.13 m →
323 896 m²		 N 21.284256°
E 23.208618°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36992 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28800 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564460754394531 y=0.439460754394531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564460754394531 × 216)
    floor (0.564460754394531 × 65536)
    floor (36992.5)     		tx = 36992
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.439460754394531 × 216)
    floor (0.439460754394531 × 65536)
    floor (28800.5)     		ty = 28800
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36992 / 28800 ti = "16/36992/28800"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36992/28800.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36992 ÷ 216
    36992 ÷ 65536     		x = 0.564453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28800 ÷ 216
    28800 ÷ 65536     		y = 0.439453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564453125 × 2 - 1) × π
    0.12890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.40497093
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.439453125 × 2 - 1) × π
    0.12109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.380427235384766
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40497093} λ = 0.40497093}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.380427235384766))-π/2
    2×atan(1.46290946262789)-π/2
    2×0.971183002492088-π/2
    1.94236600498418-1.57079632675     		φ = 0.37156968
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40497093} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.203125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37156968 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.289374°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36992 KachelY 28800 0.40497093 0.37156968 23.203125 21.289374
    Oben rechts KachelX + 1 36993 KachelY 28800 0.40506680 0.37156968 23.208618 21.289374
    Unten links KachelX 36992 KachelY + 1 28801 0.40497093 0.37148035 23.203125 21.284256
    Unten rechts KachelX + 1 36993 KachelY + 1 28801 0.40506680 0.37148035 23.208618 21.284256
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37156968-0.37148035) × R
    8.93299999999986e-05 × 6371000     		dl = 569.121429999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37156968-0.37148035) × R
    8.93299999999986e-05 × 6371000     		dr = 569.121429999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40497093-0.40506680) × cos(0.37156968) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.931758576749633 × 6371000     		do = 569.10674327127m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40497093-0.40506680) × cos(0.37148035) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.931791006829119 × 6371000     		du = 569.1265511672m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37156968)-sin(0.37148035))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.931758576749633-0.931791006829119)×R²
    abs(0.40506680-0.40497093)×3.24300794862786e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.24300794862786e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.24300794862786e-05×40589641000000     		ar = 323896.480317613m²