Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3840 / 1792
↖ ↑ ↗
← N 70.612614°
W 11.250000°		 ← 1 622.09 m → N 70.612614°
W 11.206055°		 →
↑
1 622.69 m
↓
↑
1 622.69 m
↓
N 70.598021°
W 11.250000°		 ← 1 623.26 m →
2 633 105 m²		 N 70.598021°
W 11.206055°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3840 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1792 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.46881103515625 y=0.21881103515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.46881103515625 × 213)
    floor (0.46881103515625 × 8192)
    floor (3840.5)     		tx = 3840
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.21881103515625 × 213)
    floor (0.21881103515625 × 8192)
    floor (1792.5)     		ty = 1792
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3840 / 1792 ti = "13/3840/1792"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3840/1792.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3840 ÷ 213
    3840 ÷ 8192     		x = 0.46875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1792 ÷ 213
    1792 ÷ 8192     		y = 0.21875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46875 × 2 - 1) × π
    -0.0625 × 3.1415926535     		Λ = -0.19634954
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.21875 × 2 - 1) × π
    0.5625 × 3.1415926535     		Φ = 1.76714586759375
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19634954} λ = -0.19634954}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.76714586759375))-π/2
    2×atan(5.85412105801472)-π/2
    2×1.4016094693361-π/2
    2.80321893867219-1.57079632675     		φ = 1.23242261
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19634954} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.250000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23242261 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.612614°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3840 KachelY 1792 -0.19634954 1.23242261 -11.250000 70.612614
    Oben rechts KachelX + 1 3841 KachelY 1792 -0.19558255 1.23242261 -11.206055 70.612614
    Unten links KachelX 3840 KachelY + 1 1793 -0.19634954 1.23216791 -11.250000 70.598021
    Unten rechts KachelX + 1 3841 KachelY + 1 1793 -0.19558255 1.23216791 -11.206055 70.598021
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23242261-1.23216791) × R
    0.000254699999999941 × 6371000     		dl = 1622.69369999962m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23242261-1.23216791) × R
    0.000254699999999941 × 6371000     		dr = 1622.69369999962m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19634954--0.19558255) × cos(1.23242261) × R
    0.000766989999999995 × 0.331953465734817 × 6371000     		do = 1622.08838290542m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19634954--0.19558255) × cos(1.23216791) × R
    0.000766989999999995 × 0.33219371239581 × 6371000     		du = 1623.26234660231m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23242261)-sin(1.23216791))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.331953465734817-0.33219371239581)×R²
    abs(-0.19558255--0.19634954)×0.000240246660993426×R²
    0.000766989999999995×0.000240246660993426×6371000²
    0.000766989999999995×0.000240246660993426×40589641000000     		ar = 2633105.10576577m²