Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 3840 / 2303
↖ ↑ ↗
← N 61.627287°
W 11.250000°		 ← 2 322.09 m → N 61.627287°
W 11.206055°		 →
↑
2 322.87 m
↓
↑
2 322.87 m
↓
N 61.606397°
W 11.250000°		 ← 2 323.65 m →
5 395 719 m²		 N 61.606397°
W 11.206055°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3840 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2303 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.46881103515625 y=0.28118896484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.46881103515625 × 213)
    floor (0.46881103515625 × 8192)
    floor (3840.5)     		tx = 3840
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.28118896484375 × 213)
    floor (0.28118896484375 × 8192)
    floor (2303.5)     		ty = 2303
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3840 / 2303 ti = "13/3840/2303"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3840/2303.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3840 ÷ 213
    3840 ÷ 8192     		x = 0.46875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2303 ÷ 213
    2303 ÷ 8192     		y = 0.2811279296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46875 × 2 - 1) × π
    -0.0625 × 3.1415926535     		Λ = -0.19634954
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2811279296875 × 2 - 1) × π
    0.437744140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.37521377630017
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19634954} λ = -0.19634954}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.37521377630017))-π/2
    2×atan(3.95592231496984)-π/2
    2×1.32319769229934-π/2
    2.64639538459868-1.57079632675     		φ = 1.07559906
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19634954} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.250000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.07559906 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 61.627287°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3840 KachelY 2303 -0.19634954 1.07559906 -11.250000 61.627287
    Oben rechts KachelX + 1 3841 KachelY 2303 -0.19558255 1.07559906 -11.206055 61.627287
    Unten links KachelX 3840 KachelY + 1 2304 -0.19634954 1.07523446 -11.250000 61.606397
    Unten rechts KachelX + 1 3841 KachelY + 1 2304 -0.19558255 1.07523446 -11.206055 61.606397
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.07559906-1.07523446) × R
    0.000364600000000159 × 6371000     		dl = 2322.86660000101m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.07559906-1.07523446) × R
    0.000364600000000159 × 6371000     		dr = 2322.86660000101m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19634954--0.19558255) × cos(1.07559906) × R
    0.000766989999999995 × 0.475205230634088 × 6371000     		do = 2322.08717086636m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19634954--0.19558255) × cos(1.07523446) × R
    0.000766989999999995 × 0.475526001461152 × 6371000     		du = 2323.65461536044m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.07559906)-sin(1.07523446))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.475205230634088-0.475526001461152)×R²
    abs(-0.19558255--0.19634954)×0.00032077082706411×R²
    0.000766989999999995×0.00032077082706411×6371000²
    0.000766989999999995×0.00032077082706411×40589641000000     		ar = 5395719.27349686m²