Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3842 / 2306
↖ ↑ ↗
← N 61.564574°
W 11.162109°		 ← 2 326.79 m → N 61.564574°
W 11.118164°		 →
↑
2 327.58 m
↓
↑
2 327.58 m
↓
N 61.543642°
W 11.162109°		 ← 2 328.36 m →
5 417 623 m²		 N 61.543642°
W 11.118164°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3842 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2306 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.46905517578125 y=0.28155517578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.46905517578125 × 213)
    floor (0.46905517578125 × 8192)
    floor (3842.5)     		tx = 3842
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.28155517578125 × 213)
    floor (0.28155517578125 × 8192)
    floor (2306.5)     		ty = 2306
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3842 / 2306 ti = "13/3842/2306"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3842/2306.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3842 ÷ 213
    3842 ÷ 8192     		x = 0.468994140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2306 ÷ 213
    2306 ÷ 8192     		y = 0.281494140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.468994140625 × 2 - 1) × π
    -0.06201171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.19481556
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.281494140625 × 2 - 1) × π
    0.43701171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.37291280511841
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19481556} λ = -0.19481556}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.37291280511841))-π/2
    2×atan(3.94683031595111)-π/2
    2×1.32265042182974-π/2
    2.64530084365948-1.57079632675     		φ = 1.07450452
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19481556} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.162109°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.07450452 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 61.564574°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3842 KachelY 2306 -0.19481556 1.07450452 -11.162109 61.564574
    Oben rechts KachelX + 1 3843 KachelY 2306 -0.19404857 1.07450452 -11.118164 61.564574
    Unten links KachelX 3842 KachelY + 1 2307 -0.19481556 1.07413918 -11.162109 61.543642
    Unten rechts KachelX + 1 3843 KachelY + 1 2307 -0.19404857 1.07413918 -11.118164 61.543642
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.07450452-1.07413918) × R
    0.000365340000000103 × 6371000     		dl = 2327.58114000066m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.07450452-1.07413918) × R
    0.000365340000000103 × 6371000     		dr = 2327.58114000066m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19481556--0.19404857) × cos(1.07450452) × R
    0.000766989999999995 × 0.476168004155459 × 6371000     		do = 2326.79175721833m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19481556--0.19404857) × cos(1.07413918) × R
    0.000766989999999995 × 0.476489235680154 × 6371000     		du = 2328.36145290829m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.07450452)-sin(1.07413918))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.476168004155459-0.476489235680154)×R²
    abs(-0.19404857--0.19481556)×0.000321231524695154×R²
    0.000766989999999995×0.000321231524695154×6371000²
    0.000766989999999995×0.000321231524695154×40589641000000     		ar = 5417623.46811113m²