Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3856 / 2832
↖ ↑ ↗
← N 48.458352°
W 10.546875°		 ← 3 240.55 m → N 48.458352°
W 10.502929°		 →
↑
3 241.50 m
↓
↑
3 241.50 m
↓
N 48.429200°
W 10.546875°		 ← 3 242.41 m →
10 507 255 m²		 N 48.429200°
W 10.502929°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3856 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2832 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.47076416015625 y=0.34576416015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.47076416015625 × 213)
    floor (0.47076416015625 × 8192)
    floor (3856.5)     		tx = 3856
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.34576416015625 × 213)
    floor (0.34576416015625 × 8192)
    floor (2832.5)     		ty = 2832
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3856 / 2832 ti = "13/3856/2832"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3856/2832.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3856 ÷ 213
    3856 ÷ 8192     		x = 0.470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2832 ÷ 213
    2832 ÷ 8192     		y = 0.345703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.470703125 × 2 - 1) × π
    -0.05859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.18407769
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.345703125 × 2 - 1) × π
    0.30859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.969475857916016
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18407769} λ = -0.18407769}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.969475857916016))-π/2
    2×atan(2.63656216393904)-π/2
    2×1.20827705861076-π/2
    2.41655411722153-1.57079632675     		φ = 0.84575779
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18407769} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.546875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84575779 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.458352°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3856 KachelY 2832 -0.18407769 0.84575779 -10.546875 48.458352
    Oben rechts KachelX + 1 3857 KachelY 2832 -0.18331070 0.84575779 -10.502929 48.458352
    Unten links KachelX 3856 KachelY + 1 2833 -0.18407769 0.84524900 -10.546875 48.429200
    Unten rechts KachelX + 1 3857 KachelY + 1 2833 -0.18331070 0.84524900 -10.502929 48.429200
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84575779-0.84524900) × R
    0.000508789999999926 × 6371000     		dl = 3241.50108999953m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84575779-0.84524900) × R
    0.000508789999999926 × 6371000     		dr = 3241.50108999953m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18407769--0.18331070) × cos(0.84575779) × R
    0.000766989999999995 × 0.663164286939641 × 6371000     		do = 3240.54783829817m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18407769--0.18331070) × cos(0.84524900) × R
    0.000766989999999995 × 0.663545017105883 × 6371000     		du = 3242.40827370081m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84575779)-sin(0.84524900))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.663164286939641-0.663545017105883)×R²
    abs(-0.18331070--0.18407769)×0.00038073016624196×R²
    0.000766989999999995×0.00038073016624196×6371000²
    0.000766989999999995×0.00038073016624196×40589641000000     		ar = 10507254.8783981m²