Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38913 / 26625
↖ ↑ ↗
← N 31.947501°
E 33.755493°		 ← 518.27 m → N 31.947501°
E 33.760986°		 →
↑
518.28 m
↓
↑
518.28 m
↓
N 31.942840°
E 33.755493°		 ← 518.30 m →
268 618 m²		 N 31.942840°
E 33.760986°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38913 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26625 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593772888183594 y=0.406272888183594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593772888183594 × 216)
    floor (0.593772888183594 × 65536)
    floor (38913.5)     		tx = 38913
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.406272888183594 × 216)
    floor (0.406272888183594 × 65536)
    floor (26625.5)     		ty = 26625
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38913 / 26625 ti = "16/38913/26625"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38913/26625.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38913 ÷ 216
    38913 ÷ 65536     		x = 0.593765258789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26625 ÷ 216
    26625 ÷ 65536     		y = 0.406265258789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.593765258789062 × 2 - 1) × π
    0.187530517578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.58914450
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.406265258789062 × 2 - 1) × π
    0.187469482421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.58895274873201
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58914450} λ = 0.58914450}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.58895274873201))-π/2
    2×atan(1.80210017514597)-π/2
    2×1.06419270545929-π/2
    2.12838541091858-1.57079632675     		φ = 0.55758908
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58914450} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.755493°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55758908 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.947501°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38913 KachelY 26625 0.58914450 0.55758908 33.755493 31.947501
    Oben rechts KachelX + 1 38914 KachelY 26625 0.58924037 0.55758908 33.760986 31.947501
    Unten links KachelX 38913 KachelY + 1 26626 0.58914450 0.55750773 33.755493 31.942840
    Unten rechts KachelX + 1 38914 KachelY + 1 26626 0.58924037 0.55750773 33.760986 31.942840
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55758908-0.55750773) × R
    8.134999999998e-05 × 6371000     		dl = 518.280849999873m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55758908-0.55750773) × R
    8.134999999998e-05 × 6371000     		dr = 518.280849999873m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58914450-0.58924037) × cos(0.55758908) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.848533294852168 × 6371000     		do = 518.273758933497m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58914450-0.58924037) × cos(0.55750773) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.848576337745435 × 6371000     		du = 518.30004900629m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55758908)-sin(0.55750773))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.848533294852168-0.848576337745435)×R²
    abs(0.58924037-0.58914450)×4.30428932671756e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.30428932671756e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.30428932671756e-05×40589641000000     		ar = 268618.177281573m²