Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3968 / 2689
↖ ↑ ↗
← N 52.456010°
W  5.625000°		 ← 2 977.68 m → N 52.456010°
W  5.581055°		 →
↑
2 978.63 m
↓
↑
2 978.63 m
↓
N 52.429222°
W  5.625000°		 ← 2 979.50 m →
8 872 128 m²		 N 52.429222°
W  5.581055°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3968 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2689 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.48443603515625 y=0.32830810546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.48443603515625 × 213)
    floor (0.48443603515625 × 8192)
    floor (3968.5)     		tx = 3968
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.32830810546875 × 213)
    floor (0.32830810546875 × 8192)
    floor (2689.5)     		ty = 2689
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3968 / 2689 ti = "13/3968/2689"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3968/2689.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3968 ÷ 213
    3968 ÷ 8192     		x = 0.484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2689 ÷ 213
    2689 ÷ 8192     		y = 0.3282470703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.484375 × 2 - 1) × π
    -0.03125 × 3.1415926535     		Λ = -0.09817477
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3282470703125 × 2 - 1) × π
    0.343505859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.0791554842467
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09817477} λ = -0.09817477}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0791554842467))-π/2
    2×atan(2.94219377258352)-π/2
    2×1.24316320156738-π/2
    2.48632640313475-1.57079632675     		φ = 0.91553008
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09817477} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.625000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91553008 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.456010°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3968 KachelY 2689 -0.09817477 0.91553008 -5.625000 52.456010
    Oben rechts KachelX + 1 3969 KachelY 2689 -0.09740778 0.91553008 -5.581055 52.456010
    Unten links KachelX 3968 KachelY + 1 2690 -0.09817477 0.91506255 -5.625000 52.429222
    Unten rechts KachelX + 1 3969 KachelY + 1 2690 -0.09740778 0.91506255 -5.581055 52.429222
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91553008-0.91506255) × R
    0.000467529999999994 × 6371000     		dl = 2978.63362999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91553008-0.91506255) × R
    0.000467529999999994 × 6371000     		dr = 2978.63362999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09817477--0.09740778) × cos(0.91553008) × R
    0.000766989999999995 × 0.609370368205133 × 6371000     		do = 2977.68421535919m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09817477--0.09740778) × cos(0.91506255) × R
    0.000766989999999995 × 0.60974099944977 × 6371000     		du = 2979.49530244918m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91553008)-sin(0.91506255))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.609370368205133-0.60974099944977)×R²
    abs(-0.09740778--0.09817477)×0.000370631244637099×R²
    0.000766989999999995×0.000370631244637099×6371000²
    0.000766989999999995×0.000370631244637099×40589641000000     		ar = 8872127.78745194m²