Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3984 / 2960
↖ ↑ ↗
← N 44.590467°
W  4.921875°		 ← 3 479.88 m → N 44.590467°
W  4.877929°		 →
↑
3 480.86 m
↓
↑
3 480.86 m
↓
N 44.559163°
W  4.921875°		 ← 3 481.76 m →
12 116 240 m²		 N 44.559163°
W  4.877929°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3984 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2960 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.48638916015625 y=0.36138916015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.48638916015625 × 213)
    floor (0.48638916015625 × 8192)
    floor (3984.5)     		tx = 3984
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.36138916015625 × 213)
    floor (0.36138916015625 × 8192)
    floor (2960.5)     		ty = 2960
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3984 / 2960 ti = "13/3984/2960"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3984/2960.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3984 ÷ 213
    3984 ÷ 8192     		x = 0.486328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2960 ÷ 213
    2960 ÷ 8192     		y = 0.361328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.486328125 × 2 - 1) × π
    -0.02734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.08590292
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.361328125 × 2 - 1) × π
    0.27734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.871301087494141
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.08590292} λ = -0.08590292}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.871301087494141))-π/2
    2×atan(2.39001845457747)-π/2
    2×1.17452339704674-π/2
    2.34904679409348-1.57079632675     		φ = 0.77825047
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.08590292} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -4.921875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.77825047 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.590467°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3984 KachelY 2960 -0.08590292 0.77825047 -4.921875 44.590467
    Oben rechts KachelX + 1 3985 KachelY 2960 -0.08513593 0.77825047 -4.877929 44.590467
    Unten links KachelX 3984 KachelY + 1 2961 -0.08590292 0.77770411 -4.921875 44.559163
    Unten rechts KachelX + 1 3985 KachelY + 1 2961 -0.08513593 0.77770411 -4.877929 44.559163
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.77825047-0.77770411) × R
    0.000546360000000079 × 6371000     		dl = 3480.8595600005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.77825047-0.77770411) × R
    0.000546360000000079 × 6371000     		dr = 3480.8595600005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.08590292--0.08513593) × cos(0.77825047) × R
    0.000766989999999995 × 0.712142857825438 × 6371000     		do = 3479.8812962854m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.08590292--0.08513593) × cos(0.77770411) × R
    0.000766989999999995 × 0.7125263151283 × 6371000     		du = 3481.75505782284m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.77825047)-sin(0.77770411))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.712142857825438-0.7125263151283)×R²
    abs(-0.08513593--0.08590292)×0.000383457302862489×R²
    0.000766989999999995×0.000383457302862489×6371000²
    0.000766989999999995×0.000383457302862489×40589641000000     		ar = 12116239.5296232m²