Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 39936 / 27648
↖ ↑ ↗
← N 27.059126°
E 39.375000°		 ← 543.99 m → N 27.059126°
E 39.380493°		 →
↑
543.96 m
↓
↑
543.96 m
↓
N 27.054234°
E 39.375000°		 ← 544.01 m →
295 911 m²		 N 27.054234°
E 39.380493°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39936 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27648 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.609382629394531 y=0.421882629394531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.609382629394531 × 216)
    floor (0.609382629394531 × 65536)
    floor (39936.5)     		tx = 39936
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.421882629394531 × 216)
    floor (0.421882629394531 × 65536)
    floor (27648.5)     		ty = 27648
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39936 / 27648 ti = "16/39936/27648"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39936/27648.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39936 ÷ 216
    39936 ÷ 65536     		x = 0.609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27648 ÷ 216
    27648 ÷ 65536     		y = 0.421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.609375 × 2 - 1) × π
    0.21875 × 3.1415926535     		Λ = 0.68722339
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.421875 × 2 - 1) × π
    0.15625 × 3.1415926535     		Φ = 0.490873852109375
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68722339} λ = 0.68722339}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.490873852109375))-π/2
    2×atan(1.63374324634155)-π/2
    2×1.02153358221551-π/2
    2.04306716443102-1.57079632675     		φ = 0.47227084
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68722339} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.375000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47227084 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.059126°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39936 KachelY 27648 0.68722339 0.47227084 39.375000 27.059126
    Oben rechts KachelX + 1 39937 KachelY 27648 0.68731927 0.47227084 39.380493 27.059126
    Unten links KachelX 39936 KachelY + 1 27649 0.68722339 0.47218546 39.375000 27.054234
    Unten rechts KachelX + 1 39937 KachelY + 1 27649 0.68731927 0.47218546 39.380493 27.054234
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47227084-0.47218546) × R
    8.53800000000238e-05 × 6371000     		dl = 543.955980000151m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47227084-0.47218546) × R
    8.53800000000238e-05 × 6371000     		dr = 543.955980000151m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68722339-0.68731927) × cos(0.47227084) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.890537558006442 × 6371000     		do = 543.986185304094m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68722339-0.68731927) × cos(0.47218546) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.890576394952808 × 6371000     		du = 544.009908910261m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47227084)-sin(0.47218546))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.890537558006442-0.890576394952808)×R²
    abs(0.68731927-0.68722339)×3.88369463665272e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.88369463665272e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.88369463665272e-05×40589641000000     		ar = 295910.991012169m²