Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4000 / 2976
↖ ↑ ↗
← N 44.087585°
W  4.218750°		 ← 3 509.86 m → N 44.087585°
W  4.174805°		 →
↑
3 510.80 m
↓
↑
3 510.80 m
↓
N 44.056012°
W  4.218750°		 ← 3 511.73 m →
12 325 702 m²		 N 44.056012°
W  4.174805°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4000 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2976 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.48834228515625 y=0.36334228515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.48834228515625 × 213)
    floor (0.48834228515625 × 8192)
    floor (4000.5)     		tx = 4000
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.36334228515625 × 213)
    floor (0.36334228515625 × 8192)
    floor (2976.5)     		ty = 2976
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4000 / 2976 ti = "13/4000/2976"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4000/2976.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4000 ÷ 213
    4000 ÷ 8192     		x = 0.48828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2976 ÷ 213
    2976 ÷ 8192     		y = 0.36328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48828125 × 2 - 1) × π
    -0.0234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.07363108
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.36328125 × 2 - 1) × π
    0.2734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.859029241191406
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.07363108} λ = -0.07363108}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.859029241191406))-π/2
    2×atan(2.36086774777506)-π/2
    2×1.17013492238655-π/2
    2.3402698447731-1.57079632675     		φ = 0.76947352
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.07363108} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -4.218750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76947352 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.087585°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4000 KachelY 2976 -0.07363108 0.76947352 -4.218750 44.087585
    Oben rechts KachelX + 1 4001 KachelY 2976 -0.07286409 0.76947352 -4.174805 44.087585
    Unten links KachelX 4000 KachelY + 1 2977 -0.07363108 0.76892246 -4.218750 44.056012
    Unten rechts KachelX + 1 4001 KachelY + 1 2977 -0.07286409 0.76892246 -4.174805 44.056012
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76947352-0.76892246) × R
    0.000551060000000048 × 6371000     		dl = 3510.8032600003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76947352-0.76892246) × R
    0.000551060000000048 × 6371000     		dr = 3510.8032600003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.07363108--0.07286409) × cos(0.76947352) × R
    0.000766989999999995 × 0.71827707137878 × 6371000     		do = 3509.85608965324m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.07363108--0.07286409) × cos(0.76892246) × R
    0.000766989999999995 × 0.718660366250526 × 6371000     		du = 3511.72905747212m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76947352)-sin(0.76892246))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.71827707137878-0.718660366250526)×R²
    abs(-0.07286409--0.07363108)×0.000383294871746043×R²
    0.000766989999999995×0.000383294871746043×6371000²
    0.000766989999999995×0.000383294871746043×40589641000000     		ar = 12325702.3243596m²