Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40967 / 40969
↖ ↑ ↗
← S 41.017210°
E 45.038452°		 ← 460.85 m → S 41.017210°
E 45.043945°		 →
↑
460.88 m
↓
↑
460.88 m
↓
S 41.021355°
E 45.038452°		 ← 460.82 m →
212 388 m²		 S 41.021355°
E 45.043945°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40967 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40969 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625114440917969 y=0.625144958496094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625114440917969 × 216)
    floor (0.625114440917969 × 65536)
    floor (40967.5)     		tx = 40967
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.625144958496094 × 216)
    floor (0.625144958496094 × 65536)
    floor (40969.5)     		ty = 40969
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40967 / 40969 ti = "16/40967/40969"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40967/40969.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40967 ÷ 216
    40967 ÷ 65536     		x = 0.625106811523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40969 ÷ 216
    40969 ÷ 65536     		y = 0.625137329101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.625106811523438 × 2 - 1) × π
    0.250213623046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.78606928
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.625137329101562 × 2 - 1) × π
    -0.250274658203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.786261027568161
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78606928} λ = 0.78606928}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.786261027568161))-π/2
    2×atan(0.455544884773528)-π/2
    2×0.42745547611896-π/2
    0.854910952237919-1.57079632675     		φ = -0.71588537
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78606928} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.038452°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71588537 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.017210°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40967 KachelY 40969 0.78606928 -0.71588537 45.038452 -41.017210
    Oben rechts KachelX + 1 40968 KachelY 40969 0.78616515 -0.71588537 45.043945 -41.017210
    Unten links KachelX 40967 KachelY + 1 40970 0.78606928 -0.71595771 45.038452 -41.021355
    Unten rechts KachelX + 1 40968 KachelY + 1 40970 0.78616515 -0.71595771 45.043945 -41.021355
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71588537--0.71595771) × R
    7.23400000000041e-05 × 6371000     		dl = 460.878140000026m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71588537--0.71595771) × R
    7.23400000000041e-05 × 6371000     		dr = 460.878140000026m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78606928-0.78616515) × cos(-0.71588537) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.754512481343928 × 6371000     		do = 460.846995917214m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78606928-0.78616515) × cos(-0.71595771) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.75446500366247 × 6371000     		du = 460.817997130032m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71588537)-sin(-0.71595771))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.754512481343928-0.75446500366247)×R²
    abs(0.78616515-0.78606928)×4.74776814575195e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.74776814575195e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.74776814575195e-05×40589641000000     		ar = 212387.623941962m²