Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40980 / 40980
↖ ↑ ↗
← S 41.062786°
E 45.109863°		 ← 460.53 m → S 41.062786°
E 45.115356°		 →
↑
460.50 m
↓
↑
460.50 m
↓
S 41.066928°
E 45.109863°		 ← 460.50 m →
212 065 m²		 S 41.066928°
E 45.115356°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40980 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40980 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625312805175781 y=0.625312805175781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625312805175781 × 216)
    floor (0.625312805175781 × 65536)
    floor (40980.5)     		tx = 40980
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.625312805175781 × 216)
    floor (0.625312805175781 × 65536)
    floor (40980.5)     		ty = 40980
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40980 / 40980 ti = "16/40980/40980"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40980/40980.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40980 ÷ 216
    40980 ÷ 65536     		x = 0.62530517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40980 ÷ 216
    40980 ÷ 65536     		y = 0.62530517578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62530517578125 × 2 - 1) × π
    0.2506103515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.78731564
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62530517578125 × 2 - 1) × π
    -0.2506103515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.787315639359802
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78731564} λ = 0.78731564}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.787315639359802))-π/2
    2×atan(0.455064715007277)-π/2
    2×0.427057754935207-π/2
    0.854115509870414-1.57079632675     		φ = -0.71668082
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78731564} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.109863°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71668082 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.062786°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40980 KachelY 40980 0.78731564 -0.71668082 45.109863 -41.062786
    Oben rechts KachelX + 1 40981 KachelY 40980 0.78741151 -0.71668082 45.115356 -41.062786
    Unten links KachelX 40980 KachelY + 1 40981 0.78731564 -0.71675310 45.109863 -41.066928
    Unten rechts KachelX + 1 40981 KachelY + 1 40981 0.78741151 -0.71675310 45.115356 -41.066928
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71668082--0.71675310) × R
    7.22800000000356e-05 × 6371000     		dl = 460.495880000227m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71668082--0.71675310) × R
    7.22800000000356e-05 × 6371000     		dr = 460.495880000227m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78731564-0.78741151) × cos(-0.71668082) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.753990200236294 × 6371000     		do = 460.527993004169m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78731564-0.78741151) × cos(-0.71675310) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.753942718570838 × 6371000     		du = 460.498991783609m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71668082)-sin(-0.71675310))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.753990200236294-0.753942718570838)×R²
    abs(0.78741151-0.78731564)×4.7481665456095e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.7481665456095e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.7481665456095e-05×40589641000000     		ar = 212064.566024254m²