Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41088 / 7808
↖ ↑ ↗
← N 79.560546°
E 45.703125°		 ← 110.67 m → N 79.560546°
E 45.708618°		 →
↑
110.73 m
↓
↑
110.73 m
↓
N 79.559551°
E 45.703125°		 ← 110.68 m →
12 255 m²		 N 79.559551°
E 45.708618°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41088 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7808 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.626960754394531 y=0.119148254394531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.626960754394531 × 216)
    floor (0.626960754394531 × 65536)
    floor (41088.5)     		tx = 41088
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.119148254394531 × 216)
    floor (0.119148254394531 × 65536)
    floor (7808.5)     		ty = 7808
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41088 / 7808 ti = "16/41088/7808"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41088/7808.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41088 ÷ 216
    41088 ÷ 65536     		x = 0.626953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7808 ÷ 216
    7808 ÷ 65536     		y = 0.119140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.626953125 × 2 - 1) × π
    0.25390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.79767001
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.119140625 × 2 - 1) × π
    0.76171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.3930100290332
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.79767001} λ = 0.79767001}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3930100290332))-π/2
    2×atan(10.9463933659334)-π/2
    2×1.47969490688523-π/2
    2.95938981377045-1.57079632675     		φ = 1.38859349
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.79767001} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.703125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38859349 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.560546°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41088 KachelY 7808 0.79767001 1.38859349 45.703125 79.560546
    Oben rechts KachelX + 1 41089 KachelY 7808 0.79776588 1.38859349 45.708618 79.560546
    Unten links KachelX 41088 KachelY + 1 7809 0.79767001 1.38857611 45.703125 79.559551
    Unten rechts KachelX + 1 41089 KachelY + 1 7809 0.79776588 1.38857611 45.708618 79.559551
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38859349-1.38857611) × R
    1.73800000000668e-05 × 6371000     		dl = 110.727980000426m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38859349-1.38857611) × R
    1.73800000000668e-05 × 6371000     		dr = 110.727980000426m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.79767001-0.79776588) × cos(1.38859349) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.181196384390541 × 6371000     		do = 110.672535553959m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.79767001-0.79776588) × cos(1.38857611) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.181213476670871 × 6371000     		du = 110.682975309746m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38859349)-sin(1.38857611))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.181196384390541-0.181213476670871)×R²
    abs(0.79776588-0.79767001)×1.70922803305329e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.70922803305329e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.70922803305329e-05×40589641000000     		ar = 12255.124290454m²