Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41092 / 8325
↖ ↑ ↗
← N 79.033214°
E 45.725097°		 ← 116.21 m → N 79.033214°
E 45.730591°		 →
↑
116.21 m
↓
↑
116.21 m
↓
N 79.032169°
E 45.725097°		 ← 116.22 m →
13 505 m²		 N 79.032169°
E 45.730591°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41092 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8325 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.627021789550781 y=0.127037048339844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.627021789550781 × 216)
    floor (0.627021789550781 × 65536)
    floor (41092.5)     		tx = 41092
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.127037048339844 × 216)
    floor (0.127037048339844 × 65536)
    floor (8325.5)     		ty = 8325
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41092 / 8325 ti = "16/41092/8325"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41092/8325.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41092 ÷ 216
    41092 ÷ 65536     		x = 0.62701416015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8325 ÷ 216
    8325 ÷ 65536     		y = 0.127029418945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62701416015625 × 2 - 1) × π
    0.2540283203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.79805350
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.127029418945312 × 2 - 1) × π
    0.745941162109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.34344327482607
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.79805350} λ = 0.79805350}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34344327482607))-π/2
    2×atan(10.4170436246514)-π/2
    2×1.47509306090503-π/2
    2.95018612181005-1.57079632675     		φ = 1.37938980
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.79805350} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.725097°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37938980 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.033214°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41092 KachelY 8325 0.79805350 1.37938980 45.725097 79.033214
    Oben rechts KachelX + 1 41093 KachelY 8325 0.79814938 1.37938980 45.730591 79.033214
    Unten links KachelX 41092 KachelY + 1 8326 0.79805350 1.37937156 45.725097 79.032169
    Unten rechts KachelX + 1 41093 KachelY + 1 8326 0.79814938 1.37937156 45.730591 79.032169
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37938980-1.37937156) × R
    1.82399999999472e-05 × 6371000     		dl = 116.207039999664m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37938980-1.37937156) × R
    1.82399999999472e-05 × 6371000     		dr = 116.207039999664m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.79805350-0.79814938) × cos(1.37938980) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.190239922979072 × 6371000     		do = 116.20833850691m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.79805350-0.79814938) × cos(1.37937156) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.190257829841773 × 6371000     		du = 116.219276940494m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37938980)-sin(1.37937156))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.190239922979072-0.190257829841773)×R²
    abs(0.79814938-0.79805350)×1.79068627012002e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.79068627012002e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.79068627012002e-05×40589641000000     		ar = 13504.8626027768m²