Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41471 / 8705
↖ ↑ ↗
← N 78.628923°
E 47.807007°		 ← 120.44 m → N 78.628923°
E 47.812500°		 →
↑
120.48 m
↓
↑
120.48 m
↓
N 78.627839°
E 47.807007°		 ← 120.45 m →
14 510 m²		 N 78.627839°
E 47.812500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41471 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8705 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.632804870605469 y=0.132835388183594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.632804870605469 × 216)
    floor (0.632804870605469 × 65536)
    floor (41471.5)     		tx = 41471
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.132835388183594 × 216)
    floor (0.132835388183594 × 65536)
    floor (8705.5)     		ty = 8705
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41471 / 8705 ti = "16/41471/8705"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41471/8705.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41471 ÷ 216
    41471 ÷ 65536     		x = 0.632797241210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8705 ÷ 216
    8705 ÷ 65536     		y = 0.132827758789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.632797241210938 × 2 - 1) × π
    0.265594482421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.83438967
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.132827758789062 × 2 - 1) × π
    0.734344482421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.30701123111482
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.83438967} λ = 0.83438967}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.30701123111482))-π/2
    2×atan(10.0443594793797)-π/2
    2×1.47156495648643-π/2
    2.94312991297287-1.57079632675     		φ = 1.37233359
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.83438967} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.807007°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37233359 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.628923°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41471 KachelY 8705 0.83438967 1.37233359 47.807007 78.628923
    Oben rechts KachelX + 1 41472 KachelY 8705 0.83448555 1.37233359 47.812500 78.628923
    Unten links KachelX 41471 KachelY + 1 8706 0.83438967 1.37231468 47.807007 78.627839
    Unten rechts KachelX + 1 41472 KachelY + 1 8706 0.83448555 1.37231468 47.812500 78.627839
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37233359-1.37231468) × R
    1.89100000000941e-05 × 6371000     		dl = 120.4756100006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37233359-1.37231468) × R
    1.89100000000941e-05 × 6371000     		dr = 120.4756100006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.83438967-0.83448555) × cos(1.37233359) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.197162476354331 × 6371000     		do = 120.436990481568m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.83438967-0.83448555) × cos(1.37231468) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.197181015131412 × 6371000     		du = 120.448314920986m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37233359)-sin(1.37231468))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.197162476354331-0.197181015131412)×R²
    abs(0.83448555-0.83438967)×1.85387770811063e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.85387770811063e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.85387770811063e-05×40589641000000     		ar = 14510.4020547255m²