Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4196 / 2788
↖ ↑ ↗
← N 49.724479°
E  4.394531°		 ← 3 158.94 m → N 49.724479°
E  4.438477°		 →
↑
3 159.89 m
↓
↑
3 159.89 m
↓
N 49.696062°
E  4.394531°		 ← 3 160.79 m →
9 984 824 m²		 N 49.696062°
E  4.438477°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4196 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2788 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.51226806640625 y=0.34039306640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.51226806640625 × 213)
    floor (0.51226806640625 × 8192)
    floor (4196.5)     		tx = 4196
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.34039306640625 × 213)
    floor (0.34039306640625 × 8192)
    floor (2788.5)     		ty = 2788
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4196 / 2788 ti = "13/4196/2788"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4196/2788.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4196 ÷ 213
    4196 ÷ 8192     		x = 0.51220703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2788 ÷ 213
    2788 ÷ 8192     		y = 0.34033203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51220703125 × 2 - 1) × π
    0.0244140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.07669904
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34033203125 × 2 - 1) × π
    0.3193359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.00322343524854
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07669904} λ = 0.07669904}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00322343524854))-π/2
    2×atan(2.72705817130756)-π/2
    2×1.2193261037294-π/2
    2.4386522074588-1.57079632675     		φ = 0.86785588
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07669904} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.394531°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86785588 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.724479°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4196 KachelY 2788 0.07669904 0.86785588 4.394531 49.724479
    Oben rechts KachelX + 1 4197 KachelY 2788 0.07746603 0.86785588 4.438477 49.724479
    Unten links KachelX 4196 KachelY + 1 2789 0.07669904 0.86735990 4.394531 49.696062
    Unten rechts KachelX + 1 4197 KachelY + 1 2789 0.07746603 0.86735990 4.438477 49.696062
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86785588-0.86735990) × R
    0.000495980000000062 × 6371000     		dl = 3159.8885800004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86785588-0.86735990) × R
    0.000495980000000062 × 6371000     		dr = 3159.8885800004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07669904-0.07746603) × cos(0.86785588) × R
    0.000766990000000009 × 0.646463876730745 × 6371000     		do = 3158.94139587221m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07669904-0.07746603) × cos(0.86735990) × R
    0.000766990000000009 × 0.646842202461983 × 6371000     		du = 3160.79008201934m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86785588)-sin(0.86735990))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.646463876730745-0.646842202461983)×R²
    abs(0.07746603-0.07669904)×0.000378325731238527×R²
    0.000766990000000009×0.000378325731238527×6371000²
    0.000766990000000009×0.000378325731238527×40589641000000     		ar = 9984823.86751757m²