Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4225 / 2945
↖ ↑ ↗
← N 45.058001°
E  5.668945°		 ← 3 451.77 m → N 45.058001°
E  5.712891°		 →
↑
3 452.70 m
↓
↑
3 452.70 m
↓
N 45.026951°
E  5.668945°		 ← 3 453.65 m →
11 921 171 m²		 N 45.026951°
E  5.712891°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4225 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2945 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.51580810546875 y=0.35955810546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.51580810546875 × 213)
    floor (0.51580810546875 × 8192)
    floor (4225.5)     		tx = 4225
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.35955810546875 × 213)
    floor (0.35955810546875 × 8192)
    floor (2945.5)     		ty = 2945
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4225 / 2945 ti = "13/4225/2945"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4225/2945.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4225 ÷ 213
    4225 ÷ 8192     		x = 0.5157470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2945 ÷ 213
    2945 ÷ 8192     		y = 0.3594970703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5157470703125 × 2 - 1) × π
    0.031494140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.09894176
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3594970703125 × 2 - 1) × π
    0.281005859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.882805943402954
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09894176} λ = 0.09894176}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.882805943402954))-π/2
    2×atan(2.4176740543173)-π/2
    2×1.17860340309655-π/2
    2.3572068061931-1.57079632675     		φ = 0.78641048
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09894176} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.668945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78641048 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 45.058001°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4225 KachelY 2945 0.09894176 0.78641048 5.668945 45.058001
    Oben rechts KachelX + 1 4226 KachelY 2945 0.09970875 0.78641048 5.712891 45.058001
    Unten links KachelX 4225 KachelY + 1 2946 0.09894176 0.78586854 5.668945 45.026951
    Unten rechts KachelX + 1 4226 KachelY + 1 2946 0.09970875 0.78586854 5.712891 45.026951
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78641048-0.78586854) × R
    0.000541940000000074 × 6371000     		dl = 3452.69974000047m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78641048-0.78586854) × R
    0.000541940000000074 × 6371000     		dr = 3452.69974000047m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09894176-0.09970875) × cos(0.78641048) × R
    0.000766989999999995 × 0.706390603058289 × 6371000     		do = 3451.77294196336m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09894176-0.09970875) × cos(0.78586854) × R
    0.000766989999999995 × 0.706774096488284 × 6371000     		du = 3453.64688003579m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78641048)-sin(0.78586854))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.706390603058289-0.706774096488284)×R²
    abs(0.09970875-0.09894176)×0.000383493429995441×R²
    0.000766989999999995×0.000383493429995441×6371000²
    0.000766989999999995×0.000383493429995441×40589641000000     		ar = 11921170.9037735m²