Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 4249 / 2745
↖ ↑ ↗
← N 50.930738°
E  6.723633°		 ← 3 079.76 m → N 50.930738°
E  6.767578°		 →
↑
3 080.70 m
↓
↑
3 080.70 m
↓
N 50.903033°
E  6.723633°		 ← 3 081.59 m →
9 490 628 m²		 N 50.903033°
E  6.767578°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4249 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2745 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.51873779296875 y=0.33514404296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.51873779296875 × 213)
    floor (0.51873779296875 × 8192)
    floor (4249.5)     		tx = 4249
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.33514404296875 × 213)
    floor (0.33514404296875 × 8192)
    floor (2745.5)     		ty = 2745
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4249 / 2745 ti = "13/4249/2745"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4249/2745.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4249 ÷ 213
    4249 ÷ 8192     		x = 0.5186767578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2745 ÷ 213
    2745 ÷ 8192     		y = 0.3350830078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5186767578125 × 2 - 1) × π
    0.037353515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.11734953
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3350830078125 × 2 - 1) × π
    0.329833984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.03620402218713
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11734953} λ = 0.11734953}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03620402218713))-π/2
    2×atan(2.81849772729679)-π/2
    2×1.22985269788039-π/2
    2.45970539576078-1.57079632675     		φ = 0.88890907
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11734953} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.723633°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88890907 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.930738°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4249 KachelY 2745 0.11734953 0.88890907 6.723633 50.930738
    Oben rechts KachelX + 1 4250 KachelY 2745 0.11811652 0.88890907 6.767578 50.930738
    Unten links KachelX 4249 KachelY + 1 2746 0.11734953 0.88842552 6.723633 50.903033
    Unten rechts KachelX + 1 4250 KachelY + 1 2746 0.11811652 0.88842552 6.767578 50.903033
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88890907-0.88842552) × R
    0.000483549999999999 × 6371000     		dl = 3080.69705m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88890907-0.88842552) × R
    0.000483549999999999 × 6371000     		dr = 3080.69705m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11734953-0.11811652) × cos(0.88890907) × R
    0.000766990000000009 × 0.630259382746591 × 6371000     		do = 3079.75824475079m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11734953-0.11811652) × cos(0.88842552) × R
    0.000766990000000009 × 0.630634729841203 × 6371000     		du = 3081.59237581004m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88890907)-sin(0.88842552))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.630259382746591-0.630634729841203)×R²
    abs(0.11811652-0.11734953)×0.000375347094612621×R²
    0.000766990000000009×0.000375347094612621×6371000²
    0.000766990000000009×0.000375347094612621×40589641000000     		ar = 9490627.52531501m²