Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 4249 / 2759
↖ ↑ ↗
← N 50.541363°
E  6.723633°		 ← 3 105.47 m → N 50.541363°
E  6.767578°		 →
↑
3 106.37 m
↓
↑
3 106.37 m
↓
N 50.513427°
E  6.723633°		 ← 3 107.31 m →
9 649 600 m²		 N 50.513427°
E  6.767578°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4249 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2759 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.51873779296875 y=0.33685302734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.51873779296875 × 213)
    floor (0.51873779296875 × 8192)
    floor (4249.5)     		tx = 4249
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.33685302734375 × 213)
    floor (0.33685302734375 × 8192)
    floor (2759.5)     		ty = 2759
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4249 / 2759 ti = "13/4249/2759"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4249/2759.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4249 ÷ 213
    4249 ÷ 8192     		x = 0.5186767578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2759 ÷ 213
    2759 ÷ 8192     		y = 0.3367919921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5186767578125 × 2 - 1) × π
    0.037353515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.11734953
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3367919921875 × 2 - 1) × π
    0.326416015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.02546615667224
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11734953} λ = 0.11734953}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02546615667224))-π/2
    2×atan(2.78839498657879)-π/2
    2×1.22645475948246-π/2
    2.45290951896491-1.57079632675     		φ = 0.88211319
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11734953} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.723633°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88211319 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.541363°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4249 KachelY 2759 0.11734953 0.88211319 6.723633 50.541363
    Oben rechts KachelX + 1 4250 KachelY 2759 0.11811652 0.88211319 6.767578 50.541363
    Unten links KachelX 4249 KachelY + 1 2760 0.11734953 0.88162561 6.723633 50.513427
    Unten rechts KachelX + 1 4250 KachelY + 1 2760 0.11811652 0.88162561 6.767578 50.513427
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88211319-0.88162561) × R
    0.000487580000000043 × 6371000     		dl = 3106.37218000027m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88211319-0.88162561) × R
    0.000487580000000043 × 6371000     		dr = 3106.37218000027m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11734953-0.11811652) × cos(0.88211319) × R
    0.000766990000000009 × 0.635521005097655 × 6371000     		do = 3105.46912706378m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11734953-0.11811652) × cos(0.88162561) × R
    0.000766990000000009 × 0.635897382051354 × 6371000     		du = 3107.30829052254m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88211319)-sin(0.88162561))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.635521005097655-0.635897382051354)×R²
    abs(0.11811652-0.11734953)×0.000376376953699187×R²
    0.000766990000000009×0.000376376953699187×6371000²
    0.000766990000000009×0.000376376953699187×40589641000000     		ar = 9649599.656432m²