Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 4250 / 2734
↖ ↑ ↗
← N 51.234407°
E  6.767578°		 ← 3 059.61 m → N 51.234407°
E  6.811523°		 →
↑
3 060.56 m
↓
↑
3 060.56 m
↓
N 51.206883°
E  6.767578°		 ← 3 061.44 m →
9 366 928 m²		 N 51.206883°
E  6.811523°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4250 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2734 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.51885986328125 y=0.33380126953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.51885986328125 × 213)
    floor (0.51885986328125 × 8192)
    floor (4250.5)     		tx = 4250
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.33380126953125 × 213)
    floor (0.33380126953125 × 8192)
    floor (2734.5)     		ty = 2734
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4250 / 2734 ti = "13/4250/2734"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4250/2734.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4250 ÷ 213
    4250 ÷ 8192     		x = 0.518798828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2734 ÷ 213
    2734 ÷ 8192     		y = 0.333740234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518798828125 × 2 - 1) × π
    0.03759765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.11811652
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.333740234375 × 2 - 1) × π
    0.33251953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.04464091652026
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11811652} λ = 0.11811652}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04464091652026))-π/2
    2×atan(2.84237768950893)-π/2
    2×1.23250271268511-π/2
    2.46500542537021-1.57079632675     		φ = 0.89420910
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11811652} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.767578°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89420910 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.234407°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4250 KachelY 2734 0.11811652 0.89420910 6.767578 51.234407
    Oben rechts KachelX + 1 4251 KachelY 2734 0.11888351 0.89420910 6.811523 51.234407
    Unten links KachelX 4250 KachelY + 1 2735 0.11811652 0.89372871 6.767578 51.206883
    Unten rechts KachelX + 1 4251 KachelY + 1 2735 0.11888351 0.89372871 6.811523 51.206883
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89420910-0.89372871) × R
    0.000480389999999997 × 6371000     		dl = 3060.56468999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89420910-0.89372871) × R
    0.000480389999999997 × 6371000     		dr = 3060.56468999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11811652-0.11888351) × cos(0.89420910) × R
    0.000766989999999995 × 0.626135688050928 × 6371000     		do = 3059.60783829038m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11811652-0.11888351) × cos(0.89372871) × R
    0.000766989999999995 × 0.626510182651834 × 6371000     		du = 3061.43780364484m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89420910)-sin(0.89372871))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.626135688050928-0.626510182651834)×R²
    abs(0.11888351-0.11811652)×0.000374494600905773×R²
    0.000766989999999995×0.000374494600905773×6371000²
    0.000766989999999995×0.000374494600905773×40589641000000     		ar = 9366928.25893158m²