Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4250 / 2738
↖ ↑ ↗
← N 51.124213°
E  6.767578°		 ← 3 066.93 m → N 51.124213°
E  6.811523°		 →
↑
3 067.83 m
↓
↑
3 067.83 m
↓
N 51.096623°
E  6.767578°		 ← 3 068.76 m →
9 411 622 m²		 N 51.096623°
E  6.811523°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4250 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2738 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.51885986328125 y=0.33428955078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.51885986328125 × 213)
    floor (0.51885986328125 × 8192)
    floor (4250.5)     		tx = 4250
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.33428955078125 × 213)
    floor (0.33428955078125 × 8192)
    floor (2738.5)     		ty = 2738
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4250 / 2738 ti = "13/4250/2738"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4250/2738.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4250 ÷ 213
    4250 ÷ 8192     		x = 0.518798828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2738 ÷ 213
    2738 ÷ 8192     		y = 0.334228515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518798828125 × 2 - 1) × π
    0.03759765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.11811652
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.334228515625 × 2 - 1) × π
    0.33154296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.04157295494458
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11811652} λ = 0.11811652}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04157295494458))-π/2
    2×atan(2.83367074708576)-π/2
    2×1.23154108344519-π/2
    2.46308216689038-1.57079632675     		φ = 0.89228584
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11811652} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.767578°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89228584 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.124213°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4250 KachelY 2738 0.11811652 0.89228584 6.767578 51.124213
    Oben rechts KachelX + 1 4251 KachelY 2738 0.11888351 0.89228584 6.811523 51.124213
    Unten links KachelX 4250 KachelY + 1 2739 0.11811652 0.89180431 6.767578 51.096623
    Unten rechts KachelX + 1 4251 KachelY + 1 2739 0.11888351 0.89180431 6.811523 51.096623
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89228584-0.89180431) × R
    0.000481529999999952 × 6371000     		dl = 3067.8276299997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89228584-0.89180431) × R
    0.000481529999999952 × 6371000     		dr = 3067.8276299997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11811652-0.11888351) × cos(0.89228584) × R
    0.000766989999999995 × 0.627634122078673 × 6371000     		do = 3066.92992611246m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11811652-0.11888351) × cos(0.89180431) × R
    0.000766989999999995 × 0.628008924473639 × 6371000     		du = 3068.76139550054m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89228584)-sin(0.89180431))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.627634122078673-0.628008924473639)×R²
    abs(0.11888351-0.11811652)×0.000374802394966456×R²
    0.000766989999999995×0.000374802394966456×6371000²
    0.000766989999999995×0.000374802394966456×40589641000000     		ar = 9411621.86465273m²