Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 4256 / 2721
↖ ↑ ↗
← N 51.590722°
E  7.031250°		 ← 3 035.85 m → N 51.590722°
E  7.075195°		 →
↑
3 036.74 m
↓
↑
3 036.74 m
↓
N 51.563412°
E  7.031250°		 ← 3 037.68 m →
9 221 863 m²		 N 51.563412°
E  7.075195°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4256 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2721 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.51959228515625 y=0.33221435546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.51959228515625 × 213)
    floor (0.51959228515625 × 8192)
    floor (4256.5)     		tx = 4256
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.33221435546875 × 213)
    floor (0.33221435546875 × 8192)
    floor (2721.5)     		ty = 2721
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4256 / 2721 ti = "13/4256/2721"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4256/2721.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4256 ÷ 213
    4256 ÷ 8192     		x = 0.51953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2721 ÷ 213
    2721 ÷ 8192     		y = 0.3321533203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51953125 × 2 - 1) × π
    0.0390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.12271846
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3321533203125 × 2 - 1) × π
    0.335693359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.05461179164124
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12271846} λ = 0.12271846}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05461179164124))-π/2
    2×atan(2.87086044552399)-π/2
    2×1.2356121501909-π/2
    2.47122430038181-1.57079632675     		φ = 0.90042797
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12271846} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.031250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90042797 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.590722°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4256 KachelY 2721 0.12271846 0.90042797 7.031250 51.590722
    Oben rechts KachelX + 1 4257 KachelY 2721 0.12348545 0.90042797 7.075195 51.590722
    Unten links KachelX 4256 KachelY + 1 2722 0.12271846 0.89995132 7.031250 51.563412
    Unten rechts KachelX + 1 4257 KachelY + 1 2722 0.12348545 0.89995132 7.075195 51.563412
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90042797-0.89995132) × R
    0.000476649999999967 × 6371000     		dl = 3036.73714999979m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90042797-0.89995132) × R
    0.000476649999999967 × 6371000     		dr = 3036.73714999979m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12271846-0.12348545) × cos(0.90042797) × R
    0.000766989999999995 × 0.621274670936867 × 6371000     		do = 3035.85451077994m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12271846-0.12348545) × cos(0.89995132) × R
    0.000766989999999995 × 0.621648099888082 × 6371000     		du = 3037.67926884435m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90042797)-sin(0.89995132))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.621274670936867-0.621648099888082)×R²
    abs(0.12348545-0.12271846)×0.000373428951215615×R²
    0.000766989999999995×0.000373428951215615×6371000²
    0.000766989999999995×0.000373428951215615×40589641000000     		ar = 9221863.00477977m²