Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4257 / 2655
↖ ↑ ↗
← N 53.357109°
E  7.075195°		 ← 2 916.38 m → N 53.357109°
E  7.119140°		 →
↑
2 917.28 m
↓
↑
2 917.28 m
↓
N 53.330873°
E  7.075195°		 ← 2 918.18 m →
8 510 532 m²		 N 53.330873°
E  7.119140°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4257 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2655 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.51971435546875 y=0.32415771484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.51971435546875 × 213)
    floor (0.51971435546875 × 8192)
    floor (4257.5)     		tx = 4257
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.32415771484375 × 213)
    floor (0.32415771484375 × 8192)
    floor (2655.5)     		ty = 2655
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4257 / 2655 ti = "13/4257/2655"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4257/2655.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4257 ÷ 213
    4257 ÷ 8192     		x = 0.5196533203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2655 ÷ 213
    2655 ÷ 8192     		y = 0.3240966796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5196533203125 × 2 - 1) × π
    0.039306640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.12348545
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3240966796875 × 2 - 1) × π
    0.351806640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.10523315764001
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12348545} λ = 0.12348545}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10523315764001))-π/2
    2×atan(3.01992850613104)-π/2
    2×1.25102677686655-π/2
    2.5020535537331-1.57079632675     		φ = 0.93125723
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12348545} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.075195°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93125723 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.357109°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4257 KachelY 2655 0.12348545 0.93125723 7.075195 53.357109
    Oben rechts KachelX + 1 4258 KachelY 2655 0.12425244 0.93125723 7.119140 53.357109
    Unten links KachelX 4257 KachelY + 1 2656 0.12348545 0.93079933 7.075195 53.330873
    Unten rechts KachelX + 1 4258 KachelY + 1 2656 0.12425244 0.93079933 7.119140 53.330873
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93125723-0.93079933) × R
    0.000457900000000011 × 6371000     		dl = 2917.28090000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93125723-0.93079933) × R
    0.000457900000000011 × 6371000     		dr = 2917.28090000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12348545-0.12425244) × cos(0.93125723) × R
    0.000766990000000009 × 0.596825689438233 × 6371000     		do = 2916.38472673958m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12348545-0.12425244) × cos(0.93079933) × R
    0.000766990000000009 × 0.597193032501625 × 6371000     		du = 2918.17974615398m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93125723)-sin(0.93079933))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.596825689438233-0.597193032501625)×R²
    abs(0.12425244-0.12348545)×0.000367343063392811×R²
    0.000766990000000009×0.000367343063392811×6371000²
    0.000766990000000009×0.000367343063392811×40589641000000     		ar = 8510531.89699618m²