Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4257 / 2719
↖ ↑ ↗
← N 51.645294°
E  7.075195°		 ← 3 032.21 m → N 51.645294°
E  7.119140°		 →
↑
3 033.11 m
↓
↑
3 033.11 m
↓
N 51.618016°
E  7.075195°		 ← 3 034.03 m →
9 199 768 m²		 N 51.618016°
E  7.119140°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4257 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2719 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.51971435546875 y=0.33197021484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.51971435546875 × 213)
    floor (0.51971435546875 × 8192)
    floor (4257.5)     		tx = 4257
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.33197021484375 × 213)
    floor (0.33197021484375 × 8192)
    floor (2719.5)     		ty = 2719
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4257 / 2719 ti = "13/4257/2719"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4257/2719.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4257 ÷ 213
    4257 ÷ 8192     		x = 0.5196533203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2719 ÷ 213
    2719 ÷ 8192     		y = 0.3319091796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5196533203125 × 2 - 1) × π
    0.039306640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.12348545
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3319091796875 × 2 - 1) × π
    0.336181640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.05614577242908
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12348545} λ = 0.12348545}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05614577242908))-π/2
    2×atan(2.87526766972641)-π/2
    2×1.23608837554859-π/2
    2.47217675109718-1.57079632675     		φ = 0.90138042
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12348545} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.075195°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90138042 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.645294°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4257 KachelY 2719 0.12348545 0.90138042 7.075195 51.645294
    Oben rechts KachelX + 1 4258 KachelY 2719 0.12425244 0.90138042 7.119140 51.645294
    Unten links KachelX 4257 KachelY + 1 2720 0.12348545 0.90090434 7.075195 51.618016
    Unten rechts KachelX + 1 4258 KachelY + 1 2720 0.12425244 0.90090434 7.119140 51.618016
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90138042-0.90090434) × R
    0.00047607999999999 × 6371000     		dl = 3033.10567999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90138042-0.90090434) × R
    0.00047607999999999 × 6371000     		dr = 3033.10567999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12348545-0.12425244) × cos(0.90138042) × R
    0.000766990000000009 × 0.620528056224239 × 6371000     		do = 3032.20618299652m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12348545-0.12425244) × cos(0.90090434) × R
    0.000766990000000009 × 0.620901320323887 × 6371000     		du = 3034.03013551485m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90138042)-sin(0.90090434))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.620528056224239-0.620901320323887)×R²
    abs(0.12425244-0.12348545)×0.000373264099648329×R²
    0.000766990000000009×0.000373264099648329×6371000²
    0.000766990000000009×0.000373264099648329×40589641000000     		ar = 9199768.09071107m²