Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4258 / 2718
↖ ↑ ↗
← N 51.672555°
E  7.119140°		 ← 3 030.38 m → N 51.672555°
E  7.163086°		 →
↑
3 031.32 m
↓
↑
3 031.32 m
↓
N 51.645294°
E  7.119140°		 ← 3 032.21 m →
9 188 829 m²		 N 51.645294°
E  7.163086°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4258 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2718 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.51983642578125 y=0.33184814453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.51983642578125 × 213)
    floor (0.51983642578125 × 8192)
    floor (4258.5)     		tx = 4258
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.33184814453125 × 213)
    floor (0.33184814453125 × 8192)
    floor (2718.5)     		ty = 2718
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4258 / 2718 ti = "13/4258/2718"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4258/2718.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4258 ÷ 213
    4258 ÷ 8192     		x = 0.519775390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2718 ÷ 213
    2718 ÷ 8192     		y = 0.331787109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519775390625 × 2 - 1) × π
    0.03955078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.12425244
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.331787109375 × 2 - 1) × π
    0.33642578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.056912762823
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12425244} λ = 0.12425244}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.056912762823))-π/2
    2×atan(2.87747381834829)-π/2
    2×1.23632627351702-π/2
    2.47265254703403-1.57079632675     		φ = 0.90185622
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12425244} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.119140°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90185622 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.672555°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4258 KachelY 2718 0.12425244 0.90185622 7.119140 51.672555
    Oben rechts KachelX + 1 4259 KachelY 2718 0.12501943 0.90185622 7.163086 51.672555
    Unten links KachelX 4258 KachelY + 1 2719 0.12425244 0.90138042 7.119140 51.645294
    Unten rechts KachelX + 1 4259 KachelY + 1 2719 0.12501943 0.90138042 7.163086 51.645294
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90185622-0.90138042) × R
    0.000475800000000026 × 6371000     		dl = 3031.32180000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90185622-0.90138042) × R
    0.000475800000000026 × 6371000     		dr = 3031.32180000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12425244-0.12501943) × cos(0.90185622) × R
    0.000766989999999981 × 0.620154871134822 × 6371000     		do = 3030.38261656105m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12425244-0.12501943) × cos(0.90138042) × R
    0.000766989999999981 × 0.620528056224239 × 6371000     		du = 3032.20618299641m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90185622)-sin(0.90138042))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.620154871134822-0.620528056224239)×R²
    abs(0.12501943-0.12425244)×0.000373185089416528×R²
    0.000766989999999981×0.000373185089416528×6371000²
    0.000766989999999981×0.000373185089416528×40589641000000     		ar = 9188828.9696208m²