Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4258 / 2746
↖ ↑ ↗
← N 50.903033°
E  7.119140°		 ← 3 081.59 m → N 50.903033°
E  7.163086°		 →
↑
3 082.48 m
↓
↑
3 082.48 m
↓
N 50.875311°
E  7.119140°		 ← 3 083.43 m →
9 501 777 m²		 N 50.875311°
E  7.163086°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4258 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2746 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.51983642578125 y=0.33526611328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.51983642578125 × 213)
    floor (0.51983642578125 × 8192)
    floor (4258.5)     		tx = 4258
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.33526611328125 × 213)
    floor (0.33526611328125 × 8192)
    floor (2746.5)     		ty = 2746
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4258 / 2746 ti = "13/4258/2746"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4258/2746.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4258 ÷ 213
    4258 ÷ 8192     		x = 0.519775390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2746 ÷ 213
    2746 ÷ 8192     		y = 0.335205078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519775390625 × 2 - 1) × π
    0.03955078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.12425244
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.335205078125 × 2 - 1) × π
    0.32958984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.03543703179321
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12425244} λ = 0.12425244}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03543703179321))-π/2
    2×atan(2.8163367954276)-π/2
    2×1.22961092446496-π/2
    2.45922184892992-1.57079632675     		φ = 0.88842552
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12425244} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.119140°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88842552 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.903033°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4258 KachelY 2746 0.12425244 0.88842552 7.119140 50.903033
    Oben rechts KachelX + 1 4259 KachelY 2746 0.12501943 0.88842552 7.163086 50.903033
    Unten links KachelX 4258 KachelY + 1 2747 0.12425244 0.88794169 7.119140 50.875311
    Unten rechts KachelX + 1 4259 KachelY + 1 2747 0.12501943 0.88794169 7.163086 50.875311
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88842552-0.88794169) × R
    0.000483829999999963 × 6371000     		dl = 3082.48092999976m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88842552-0.88794169) × R
    0.000483829999999963 × 6371000     		dr = 3082.48092999976m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12425244-0.12501943) × cos(0.88842552) × R
    0.000766989999999981 × 0.630634729841203 × 6371000     		do = 3081.59237580993m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12425244-0.12501943) × cos(0.88794169) × R
    0.000766989999999981 × 0.631010146697332 × 6371000     		du = 3083.42684775836m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88842552)-sin(0.88794169))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.630634729841203-0.631010146697332)×R²
    abs(0.12501943-0.12425244)×0.000375416856129296×R²
    0.000766989999999981×0.000375416856129296×6371000²
    0.000766989999999981×0.000375416856129296×40589641000000     		ar = 9501777.28022069m²