Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4260 / 2724
↖ ↑ ↗
← N 51.508742°
E  7.207031°		 ← 3 041.33 m → N 51.508742°
E  7.250976°		 →
↑
3 042.22 m
↓
↑
3 042.22 m
↓
N 51.481383°
E  7.207031°		 ← 3 043.16 m →
9 255 161 m²		 N 51.481383°
E  7.250976°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4260 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2724 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.52008056640625 y=0.33258056640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.52008056640625 × 213)
    floor (0.52008056640625 × 8192)
    floor (4260.5)     		tx = 4260
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.33258056640625 × 213)
    floor (0.33258056640625 × 8192)
    floor (2724.5)     		ty = 2724
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4260 / 2724 ti = "13/4260/2724"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4260/2724.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4260 ÷ 213
    4260 ÷ 8192     		x = 0.52001953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2724 ÷ 213
    2724 ÷ 8192     		y = 0.33251953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52001953125 × 2 - 1) × π
    0.0400390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.12578642
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33251953125 × 2 - 1) × π
    0.3349609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.05231082045947
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12578642} λ = 0.12578642}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05231082045947))-π/2
    2×atan(2.86426227238625)-π/2
    2×1.23489673812205-π/2
    2.46979347624409-1.57079632675     		φ = 0.89899715
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12578642} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.207031°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89899715 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.508742°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4260 KachelY 2724 0.12578642 0.89899715 7.207031 51.508742
    Oben rechts KachelX + 1 4261 KachelY 2724 0.12655341 0.89899715 7.250976 51.508742
    Unten links KachelX 4260 KachelY + 1 2725 0.12578642 0.89851964 7.207031 51.481383
    Unten rechts KachelX + 1 4261 KachelY + 1 2725 0.12655341 0.89851964 7.250976 51.481383
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89899715-0.89851964) × R
    0.00047751000000007 × 6371000     		dl = 3042.21621000044m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89899715-0.89851964) × R
    0.00047751000000007 × 6371000     		dr = 3042.21621000044m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12578642-0.12655341) × cos(0.89899715) × R
    0.000766989999999995 × 0.62239521495124 × 6371000     		do = 3041.33004158732m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12578642-0.12655341) × cos(0.89851964) × R
    0.000766989999999995 × 0.622768892552714 × 6371000     		du = 3043.15601467955m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89899715)-sin(0.89851964))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.62239521495124-0.622768892552714)×R²
    abs(0.12655341-0.12578642)×0.000373677601474776×R²
    0.000766989999999995×0.000373677601474776×6371000²
    0.000766989999999995×0.000373677601474776×40589641000000     		ar = 9255161.23081114m²