Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4261 / 2725
↖ ↑ ↗
← N 51.481383°
E  7.250976°		 ← 3 043.20 m → N 51.481383°
E  7.294922°		 →
↑
3 044.13 m
↓
↑
3 044.13 m
↓
N 51.454007°
E  7.250976°		 ← 3 045.02 m →
9 266 656 m²		 N 51.454007°
E  7.294922°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4261 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2725 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.52020263671875 y=0.33270263671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.52020263671875 × 213)
    floor (0.52020263671875 × 8192)
    floor (4261.5)     		tx = 4261
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.33270263671875 × 213)
    floor (0.33270263671875 × 8192)
    floor (2725.5)     		ty = 2725
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4261 / 2725 ti = "13/4261/2725"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4261/2725.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4261 ÷ 213
    4261 ÷ 8192     		x = 0.5201416015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2725 ÷ 213
    2725 ÷ 8192     		y = 0.3326416015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5201416015625 × 2 - 1) × π
    0.040283203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.12655341
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3326416015625 × 2 - 1) × π
    0.334716796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.05154383006555
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12655341} λ = 0.12655341}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05154383006555))-π/2
    2×atan(2.8620662530082)-π/2
    2×1.23465798089652-π/2
    2.46931596179303-1.57079632675     		φ = 0.89851964
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12655341} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.250976°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89851964 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.481383°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4261 KachelY 2725 0.12655341 0.89851964 7.250976 51.481383
    Oben rechts KachelX + 1 4262 KachelY 2725 0.12732041 0.89851964 7.294922 51.481383
    Unten links KachelX 4261 KachelY + 1 2726 0.12655341 0.89804183 7.250976 51.454007
    Unten rechts KachelX + 1 4262 KachelY + 1 2726 0.12732041 0.89804183 7.294922 51.454007
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89851964-0.89804183) × R
    0.000477809999999912 × 6371000     		dl = 3044.12750999944m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89851964-0.89804183) × R
    0.000477809999999912 × 6371000     		dr = 3044.12750999944m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12655341-0.12732041) × cos(0.89851964) × R
    0.00076699999999999 × 0.622768892552714 × 6371000     		do = 3043.19569128567m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12655341-0.12732041) × cos(0.89804183) × R
    0.00076699999999999 × 0.62314266278553 × 6371000     		du = 3045.02214083323m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89851964)-sin(0.89804183))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.622768892552714-0.62314266278553)×R²
    abs(0.12732041-0.12655341)×0.000373770232815152×R²
    0.00076699999999999×0.000373770232815152×6371000²
    0.00076699999999999×0.000373770232815152×40589641000000     		ar = 9266655.87110879m²