Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4264 / 2664
↖ ↑ ↗
← N 53.120405°
E  7.382813°		 ← 2 932.56 m → N 53.120405°
E  7.426758°		 →
↑
2 933.46 m
↓
↑
2 933.46 m
↓
N 53.094024°
E  7.382813°		 ← 2 934.36 m →
8 605 189 m²		 N 53.094024°
E  7.426758°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4264 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2664 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.52056884765625 y=0.32525634765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.52056884765625 × 213)
    floor (0.52056884765625 × 8192)
    floor (4264.5)     		tx = 4264
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.32525634765625 × 213)
    floor (0.32525634765625 × 8192)
    floor (2664.5)     		ty = 2664
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4264 / 2664 ti = "13/4264/2664"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4264/2664.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4264 ÷ 213
    4264 ÷ 8192     		x = 0.5205078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2664 ÷ 213
    2664 ÷ 8192     		y = 0.3251953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5205078125 × 2 - 1) × π
    0.041015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.12885439
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3251953125 × 2 - 1) × π
    0.349609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.09833024409473
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12885439} λ = 0.12885439}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09833024409473))-π/2
    2×atan(2.99915398559235)-π/2
    2×1.24896114948003-π/2
    2.49792229896006-1.57079632675     		φ = 0.92712597
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12885439} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.382813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92712597 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.120405°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4264 KachelY 2664 0.12885439 0.92712597 7.382813 53.120405
    Oben rechts KachelX + 1 4265 KachelY 2664 0.12962138 0.92712597 7.426758 53.120405
    Unten links KachelX 4264 KachelY + 1 2665 0.12885439 0.92666553 7.382813 53.094024
    Unten rechts KachelX + 1 4265 KachelY + 1 2665 0.12962138 0.92666553 7.426758 53.094024
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92712597-0.92666553) × R
    0.000460440000000006 × 6371000     		dl = 2933.46324000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92712597-0.92666553) × R
    0.000460440000000006 × 6371000     		dr = 2933.46324000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12885439-0.12962138) × cos(0.92712597) × R
    0.000766989999999995 × 0.600135389807178 × 6371000     		do = 2932.55755538429m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12885439-0.12962138) × cos(0.92666553) × R
    0.000766989999999995 × 0.60050363141591 × 6371000     		du = 2934.35696553446m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92712597)-sin(0.92666553))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.600135389807178-0.60050363141591)×R²
    abs(0.12962138-0.12885439)×0.000368241608732278×R²
    0.000766989999999995×0.000368241608732278×6371000²
    0.000766989999999995×0.000368241608732278×40589641000000     		ar = 8605189.19169777m²