Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4264 / 2743
↖ ↑ ↗
← N 50.986099°
E  7.382813°		 ← 3 076.09 m → N 50.986099°
E  7.426758°		 →
↑
3 077 m
↓
↑
3 077 m
↓
N 50.958427°
E  7.382813°		 ← 3 077.92 m →
9 467 959 m²		 N 50.958427°
E  7.426758°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4264 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2743 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.52056884765625 y=0.33489990234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.52056884765625 × 213)
    floor (0.52056884765625 × 8192)
    floor (4264.5)     		tx = 4264
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.33489990234375 × 213)
    floor (0.33489990234375 × 8192)
    floor (2743.5)     		ty = 2743
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4264 / 2743 ti = "13/4264/2743"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4264/2743.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4264 ÷ 213
    4264 ÷ 8192     		x = 0.5205078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2743 ÷ 213
    2743 ÷ 8192     		y = 0.3348388671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5205078125 × 2 - 1) × π
    0.041015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.12885439
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3348388671875 × 2 - 1) × π
    0.330322265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.03773800297498
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12885439} λ = 0.12885439}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03773800297498))-π/2
    2×atan(2.82282456645666)-π/2
    2×1.23033581295576-π/2
    2.46067162591151-1.57079632675     		φ = 0.88987530
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12885439} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.382813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88987530 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.986099°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4264 KachelY 2743 0.12885439 0.88987530 7.382813 50.986099
    Oben rechts KachelX + 1 4265 KachelY 2743 0.12962138 0.88987530 7.426758 50.986099
    Unten links KachelX 4264 KachelY + 1 2744 0.12885439 0.88939233 7.382813 50.958427
    Unten rechts KachelX + 1 4265 KachelY + 1 2744 0.12962138 0.88939233 7.426758 50.958427
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88987530-0.88939233) × R
    0.000482970000000082 × 6371000     		dl = 3077.00187000053m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88987530-0.88939233) × R
    0.000482970000000082 × 6371000     		dr = 3077.00187000053m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12885439-0.12962138) × cos(0.88987530) × R
    0.000766989999999995 × 0.629508922526655 × 6371000     		do = 3076.09112592161m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12885439-0.12962138) × cos(0.88939233) × R
    0.000766989999999995 × 0.629884113524226 × 6371000     		du = 3077.92449421371m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88987530)-sin(0.88939233))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.629508922526655-0.629884113524226)×R²
    abs(0.12962138-0.12885439)×0.000375190997570773×R²
    0.000766989999999995×0.000375190997570773×6371000²
    0.000766989999999995×0.000375190997570773×40589641000000     		ar = 9467958.96962606m²