Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4268 / 2716
↖ ↑ ↗
← N 51.727028°
E  7.558594°		 ← 3 026.74 m → N 51.727028°
E  7.602539°		 →
↑
3 027.63 m
↓
↑
3 027.63 m
↓
N 51.699800°
E  7.558594°		 ← 3 028.56 m →
9 166 588 m²		 N 51.699800°
E  7.602539°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4268 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2716 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.52105712890625 y=0.33160400390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.52105712890625 × 213)
    floor (0.52105712890625 × 8192)
    floor (4268.5)     		tx = 4268
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.33160400390625 × 213)
    floor (0.33160400390625 × 8192)
    floor (2716.5)     		ty = 2716
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4268 / 2716 ti = "13/4268/2716"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4268/2716.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4268 ÷ 213
    4268 ÷ 8192     		x = 0.52099609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2716 ÷ 213
    2716 ÷ 8192     		y = 0.33154296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52099609375 × 2 - 1) × π
    0.0419921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.13192235
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33154296875 × 2 - 1) × π
    0.3369140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.05844674361084
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13192235} λ = 0.13192235}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05844674361084))-π/2
    2×atan(2.8818911951225)-π/2
    2×1.23680164019423-π/2
    2.47360328038846-1.57079632675     		φ = 0.90280695
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13192235} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.558594°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90280695 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.727028°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4268 KachelY 2716 0.13192235 0.90280695 7.558594 51.727028
    Oben rechts KachelX + 1 4269 KachelY 2716 0.13268934 0.90280695 7.602539 51.727028
    Unten links KachelX 4268 KachelY + 1 2717 0.13192235 0.90233173 7.558594 51.699800
    Unten rechts KachelX + 1 4269 KachelY + 1 2717 0.13268934 0.90233173 7.602539 51.699800
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90280695-0.90233173) × R
    0.000475219999999998 × 6371000     		dl = 3027.62661999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90280695-0.90233173) × R
    0.000475219999999998 × 6371000     		dr = 3027.62661999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13192235-0.13268934) × cos(0.90280695) × R
    0.000766989999999995 × 0.619408762868 × 6371000     		do = 3026.73676352166m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13192235-0.13268934) × cos(0.90233173) × R
    0.000766989999999995 × 0.619781773235797 × 6371000     		du = 3028.559476181m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90280695)-sin(0.90233173))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.619408762868-0.619781773235797)×R²
    abs(0.13268934-0.13192235)×0.000373010367796578×R²
    0.000766989999999995×0.000373010367796578×6371000²
    0.000766989999999995×0.000373010367796578×40589641000000     		ar = 9166588.21616662m²