Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4272 / 2672
↖ ↑ ↗
← N 52.908902°
E  7.734375°		 ← 2 946.97 m → N 52.908902°
E  7.778320°		 →
↑
2 947.86 m
↓
↑
2 947.86 m
↓
N 52.882391°
E  7.734375°		 ← 2 948.77 m →
8 689 907 m²		 N 52.882391°
E  7.778320°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4272 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2672 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.52154541015625 y=0.32623291015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.52154541015625 × 213)
    floor (0.52154541015625 × 8192)
    floor (4272.5)     		tx = 4272
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.32623291015625 × 213)
    floor (0.32623291015625 × 8192)
    floor (2672.5)     		ty = 2672
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4272 / 2672 ti = "13/4272/2672"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4272/2672.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4272 ÷ 213
    4272 ÷ 8192     		x = 0.521484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2672 ÷ 213
    2672 ÷ 8192     		y = 0.326171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.521484375 × 2 - 1) × π
    0.04296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.13499031
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.326171875 × 2 - 1) × π
    0.34765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.09219432094336
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13499031} λ = 0.13499031}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09219432094336))-π/2
    2×atan(2.98080775032309)-π/2
    2×1.24711543556242-π/2
    2.49423087112483-1.57079632675     		φ = 0.92343454
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13499031} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.734375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92343454 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.908902°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4272 KachelY 2672 0.13499031 0.92343454 7.734375 52.908902
    Oben rechts KachelX + 1 4273 KachelY 2672 0.13575730 0.92343454 7.778320 52.908902
    Unten links KachelX 4272 KachelY + 1 2673 0.13499031 0.92297184 7.734375 52.882391
    Unten rechts KachelX + 1 4273 KachelY + 1 2673 0.13575730 0.92297184 7.778320 52.882391
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92343454-0.92297184) × R
    0.000462700000000038 × 6371000     		dl = 2947.86170000024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92343454-0.92297184) × R
    0.000462700000000038 × 6371000     		dr = 2947.86170000024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13499031-0.13575730) × cos(0.92343454) × R
    0.000766989999999995 × 0.603084063284091 × 6371000     		do = 2946.96622854363m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13499031-0.13575730) × cos(0.92297184) × R
    0.000766989999999995 × 0.603453084156052 × 6371000     		du = 2948.76944655833m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92343454)-sin(0.92297184))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.603084063284091-0.603453084156052)×R²
    abs(0.13575730-0.13499031)×0.000369020871961334×R²
    0.000766989999999995×0.000369020871961334×6371000²
    0.000766989999999995×0.000369020871961334×40589641000000     		ar = 8689906.85001266m²