Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4272 / 2703
↖ ↑ ↗
← N 52.079506°
E  7.734375°		 ← 3 003.08 m → N 52.079506°
E  7.778320°		 →
↑
3 003.99 m
↓
↑
3 003.99 m
↓
N 52.052490°
E  7.734375°		 ← 3 004.90 m →
9 023 951 m²		 N 52.052490°
E  7.778320°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4272 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2703 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.52154541015625 y=0.33001708984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.52154541015625 × 213)
    floor (0.52154541015625 × 8192)
    floor (4272.5)     		tx = 4272
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.33001708984375 × 213)
    floor (0.33001708984375 × 8192)
    floor (2703.5)     		ty = 2703
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4272 / 2703 ti = "13/4272/2703"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4272/2703.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4272 ÷ 213
    4272 ÷ 8192     		x = 0.521484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2703 ÷ 213
    2703 ÷ 8192     		y = 0.3299560546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.521484375 × 2 - 1) × π
    0.04296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.13499031
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3299560546875 × 2 - 1) × π
    0.340087890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.06841761873181
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13499031} λ = 0.13499031}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06841761873181))-π/2
    2×atan(2.91076990609592)-π/2
    2×1.23987758967727-π/2
    2.47975517935454-1.57079632675     		φ = 0.90895885
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13499031} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.734375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90895885 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.079506°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4272 KachelY 2703 0.13499031 0.90895885 7.734375 52.079506
    Oben rechts KachelX + 1 4273 KachelY 2703 0.13575730 0.90895885 7.778320 52.079506
    Unten links KachelX 4272 KachelY + 1 2704 0.13499031 0.90848734 7.734375 52.052490
    Unten rechts KachelX + 1 4273 KachelY + 1 2704 0.13575730 0.90848734 7.778320 52.052490
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90895885-0.90848734) × R
    0.000471510000000008 × 6371000     		dl = 3003.99021000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90895885-0.90848734) × R
    0.000471510000000008 × 6371000     		dr = 3003.99021000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13499031-0.13575730) × cos(0.90895885) × R
    0.000766989999999995 × 0.614567408510767 × 6371000     		do = 3003.07951794053m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13499031-0.13575730) × cos(0.90848734) × R
    0.000766989999999995 × 0.614939297592205 × 6371000     		du = 3004.8967514416m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90895885)-sin(0.90848734))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.614567408510767-0.614939297592205)×R²
    abs(0.13575730-0.13499031)×0.000371889081438148×R²
    0.000766989999999995×0.000371889081438148×6371000²
    0.000766989999999995×0.000371889081438148×40589641000000     		ar = 9023951.11475284m²