Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 4273 / 2705
↖ ↑ ↗
← N 52.025459°
E  7.778320°		 ← 3 006.71 m → N 52.025459°
E  7.822266°		 →
↑
3 007.62 m
↓
↑
3 007.62 m
↓
N 51.998411°
E  7.778320°		 ← 3 008.53 m →
9 045 794 m²		 N 51.998411°
E  7.822266°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4273 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2705 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.52166748046875 y=0.33026123046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.52166748046875 × 213)
    floor (0.52166748046875 × 8192)
    floor (4273.5)     		tx = 4273
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.33026123046875 × 213)
    floor (0.33026123046875 × 8192)
    floor (2705.5)     		ty = 2705
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4273 / 2705 ti = "13/4273/2705"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4273/2705.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4273 ÷ 213
    4273 ÷ 8192     		x = 0.5216064453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2705 ÷ 213
    2705 ÷ 8192     		y = 0.3302001953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5216064453125 × 2 - 1) × π
    0.043212890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.13575730
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3302001953125 × 2 - 1) × π
    0.339599609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.06688363794397
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13575730} λ = 0.13575730}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06688363794397))-π/2
    2×atan(2.90630826389374)-π/2
    2×1.23940593713351-π/2
    2.47881187426701-1.57079632675     		φ = 0.90801555
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13575730} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.778320°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90801555 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.025459°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4273 KachelY 2705 0.13575730 0.90801555 7.778320 52.025459
    Oben rechts KachelX + 1 4274 KachelY 2705 0.13652429 0.90801555 7.822266 52.025459
    Unten links KachelX 4273 KachelY + 1 2706 0.13575730 0.90754347 7.778320 51.998411
    Unten rechts KachelX + 1 4274 KachelY + 1 2706 0.13652429 0.90754347 7.822266 51.998411
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90801555-0.90754347) × R
    0.000472079999999986 × 6371000     		dl = 3007.62167999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90801555-0.90754347) × R
    0.000472079999999986 × 6371000     		dr = 3007.62167999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13575730-0.13652429) × cos(0.90801555) × R
    0.000766989999999995 × 0.615311270678919 × 6371000     		do = 3006.71439543389m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13575730-0.13652429) × cos(0.90754347) × R
    0.000766989999999995 × 0.615683335324272 × 6371000     		du = 3008.53248682686m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90801555)-sin(0.90754347))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.615311270678919-0.615683335324272)×R²
    abs(0.13652429-0.13575730)×0.000372064645353554×R²
    0.000766989999999995×0.000372064645353554×6371000²
    0.000766989999999995×0.000372064645353554×40589641000000     		ar = 9045793.63481657m²