Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4320 / 2656
↖ ↑ ↗
← N 53.330873°
E  9.843750°		 ← 2 918.18 m → N 53.330873°
E  9.887695°		 →
↑
2 919.13 m
↓
↑
2 919.13 m
↓
N 53.304621°
E  9.843750°		 ← 2 919.98 m →
8 521 162 m²		 N 53.304621°
E  9.887695°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4320 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2656 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.52740478515625 y=0.32427978515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.52740478515625 × 213)
    floor (0.52740478515625 × 8192)
    floor (4320.5)     		tx = 4320
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.32427978515625 × 213)
    floor (0.32427978515625 × 8192)
    floor (2656.5)     		ty = 2656
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4320 / 2656 ti = "13/4320/2656"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4320/2656.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4320 ÷ 213
    4320 ÷ 8192     		x = 0.52734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2656 ÷ 213
    2656 ÷ 8192     		y = 0.32421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52734375 × 2 - 1) × π
    0.0546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.17180585
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32421875 × 2 - 1) × π
    0.3515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.10446616724609
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17180585} λ = 0.17180585}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10446616724609))-π/2
    2×atan(3.01761313802257)-π/2
    2×1.25079782664629-π/2
    2.50159565329258-1.57079632675     		φ = 0.93079933
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17180585} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.843750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93079933 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.330873°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4320 KachelY 2656 0.17180585 0.93079933 9.843750 53.330873
    Oben rechts KachelX + 1 4321 KachelY 2656 0.17257284 0.93079933 9.887695 53.330873
    Unten links KachelX 4320 KachelY + 1 2657 0.17180585 0.93034114 9.843750 53.304621
    Unten rechts KachelX + 1 4321 KachelY + 1 2657 0.17257284 0.93034114 9.887695 53.304621
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93079933-0.93034114) × R
    0.000458190000000025 × 6371000     		dl = 2919.12849000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93079933-0.93034114) × R
    0.000458190000000025 × 6371000     		dr = 2919.12849000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17180585-0.17257284) × cos(0.93079933) × R
    0.000766989999999995 × 0.597193032501625 × 6371000     		do = 2918.17974615393m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17180585-0.17257284) × cos(0.93034114) × R
    0.000766989999999995 × 0.597560482879056 × 6371000     		du = 2919.97528995765m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93079933)-sin(0.93034114))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.597193032501625-0.597560482879056)×R²
    abs(0.17257284-0.17180585)×0.000367450377431022×R²
    0.000766989999999995×0.000367450377431022×6371000²
    0.000766989999999995×0.000367450377431022×40589641000000     		ar = 8521162.49655208m²