Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4321 / 2785
↖ ↑ ↗
← N 49.809632°
E  9.887695°		 ← 3 153.40 m → N 49.809632°
E  9.931641°		 →
↑
3 154.35 m
↓
↑
3 154.35 m
↓
N 49.781264°
E  9.887695°		 ← 3 155.24 m →
9 949 820 m²		 N 49.781264°
E  9.931641°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4321 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2785 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.52752685546875 y=0.34002685546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.52752685546875 × 213)
    floor (0.52752685546875 × 8192)
    floor (4321.5)     		tx = 4321
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.34002685546875 × 213)
    floor (0.34002685546875 × 8192)
    floor (2785.5)     		ty = 2785
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4321 / 2785 ti = "13/4321/2785"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4321/2785.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4321 ÷ 213
    4321 ÷ 8192     		x = 0.5274658203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2785 ÷ 213
    2785 ÷ 8192     		y = 0.3399658203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5274658203125 × 2 - 1) × π
    0.054931640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.17257284
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3399658203125 × 2 - 1) × π
    0.320068359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.0055244064303
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17257284} λ = 0.17257284}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0055244064303))-π/2
    2×atan(2.73334027827257)-π/2
    2×1.22006919838291-π/2
    2.44013839676582-1.57079632675     		φ = 0.86934207
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17257284} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.887695°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86934207 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.809632°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4321 KachelY 2785 0.17257284 0.86934207 9.887695 49.809632
    Oben rechts KachelX + 1 4322 KachelY 2785 0.17333983 0.86934207 9.931641 49.809632
    Unten links KachelX 4321 KachelY + 1 2786 0.17257284 0.86884696 9.887695 49.781264
    Unten rechts KachelX + 1 4322 KachelY + 1 2786 0.17333983 0.86884696 9.931641 49.781264
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86934207-0.86884696) × R
    0.000495110000000021 × 6371000     		dl = 3154.34581000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86934207-0.86884696) × R
    0.000495110000000021 × 6371000     		dr = 3154.34581000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17257284-0.17333983) × cos(0.86934207) × R
    0.000766989999999995 × 0.645329282577622 × 6371000     		do = 3153.39720915604m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17257284-0.17333983) × cos(0.86884696) × R
    0.000766989999999995 × 0.645707420233467 × 6371000     		du = 3155.24497627403m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86934207)-sin(0.86884696))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.645329282577622-0.645707420233467)×R²
    abs(0.17333983-0.17257284)×0.000378137655845157×R²
    0.000766989999999995×0.000378137655845157×6371000²
    0.000766989999999995×0.000378137655845157×40589641000000     		ar = 9949819.72545381m²