Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 434 / 690
↖ ↑ ↗
← S 52.908902°
W 27.421875°		 ← 23.576 km → S 52.908902°
W 27.070312°		 →
↑
23.518 km
↓
↑
23.518 km
↓
S 53.120405°
W 27.421875°		 ← 23.460 km →
553.102 km²		 S 53.120405°
W 27.070312°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 434 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 690 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.42431640625 y=0.67431640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.42431640625 × 210)
    floor (0.42431640625 × 1024)
    floor (434.5)     		tx = 434
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.67431640625 × 210)
    floor (0.67431640625 × 1024)
    floor (690.5)     		ty = 690
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 434 / 690 ti = "10/434/690"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/434/690.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 434 ÷ 210
    434 ÷ 1024     		x = 0.423828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 690 ÷ 210
    690 ÷ 1024     		y = 0.673828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.423828125 × 2 - 1) × π
    -0.15234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.47860201
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.673828125 × 2 - 1) × π
    -0.34765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.09219432094336
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47860201} λ = -0.47860201}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.09219432094336))-π/2
    2×atan(0.335479535670024)-π/2
    2×0.323680891232481-π/2
    0.647361782464962-1.57079632675     		φ = -0.92343454
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47860201} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.421875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92343454 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.908902°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 434 KachelY 690 -0.47860201 -0.92343454 -27.421875 -52.908902
    Oben rechts KachelX + 1 435 KachelY 690 -0.47246608 -0.92343454 -27.070312 -52.908902
    Unten links KachelX 434 KachelY + 1 691 -0.47860201 -0.92712597 -27.421875 -53.120405
    Unten rechts KachelX + 1 435 KachelY + 1 691 -0.47246608 -0.92712597 -27.070312 -53.120405
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92343454--0.92712597) × R
    0.00369142999999994 × 6371000     		dl = 23518.1005299996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92343454--0.92712597) × R
    0.00369142999999994 × 6371000     		dr = 23518.1005299996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47860201--0.47246608) × cos(-0.92343454) × R
    0.00613593000000001 × 0.603084063284091 × 6371000     		do = 23575.7682508349m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47860201--0.47246608) × cos(-0.92712597) × R
    0.00613593000000001 × 0.600135389807178 × 6371000     		du = 23460.4986777002m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92343454)-sin(-0.92712597))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.603084063284091-0.600135389807178)×R²
    abs(-0.47246608--0.47860201)×0.00294867347691308×R²
    0.00613593000000001×0.00294867347691308×6371000²
    0.00613593000000001×0.00294867347691308×40589641000000     		ar = 553102455.168792m²