Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4360 / 2312
↖ ↑ ↗
← N 61.438767°
E 11.601562°		 ← 2 336.22 m → N 61.438767°
E 11.645508°		 →
↑
2 337.01 m
↓
↑
2 337.01 m
↓
N 61.417750°
E 11.601562°		 ← 2 337.80 m →
5 461 612 m²		 N 61.417750°
E 11.645508°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4360 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2312 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.53228759765625 y=0.28228759765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.53228759765625 × 213)
    floor (0.53228759765625 × 8192)
    floor (4360.5)     		tx = 4360
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.28228759765625 × 213)
    floor (0.28228759765625 × 8192)
    floor (2312.5)     		ty = 2312
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4360 / 2312 ti = "13/4360/2312"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4360/2312.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4360 ÷ 213
    4360 ÷ 8192     		x = 0.5322265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2312 ÷ 213
    2312 ÷ 8192     		y = 0.2822265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5322265625 × 2 - 1) × π
    0.064453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.20248546
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2822265625 × 2 - 1) × π
    0.435546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.36831086275488
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.20248546} λ = 0.20248546}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.36831086275488))-π/2
    2×atan(3.92870895901954)-π/2
    2×1.32155255395411-π/2
    2.64310510790823-1.57079632675     		φ = 1.07230878
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.20248546} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.601562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.07230878 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 61.438767°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4360 KachelY 2312 0.20248546 1.07230878 11.601562 61.438767
    Oben rechts KachelX + 1 4361 KachelY 2312 0.20325245 1.07230878 11.645508 61.438767
    Unten links KachelX 4360 KachelY + 1 2313 0.20248546 1.07194196 11.601562 61.417750
    Unten rechts KachelX + 1 4361 KachelY + 1 2313 0.20325245 1.07194196 11.645508 61.417750
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.07230878-1.07194196) × R
    0.00036681999999999 × 6371000     		dl = 2337.01021999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.07230878-1.07194196) × R
    0.00036681999999999 × 6371000     		dr = 2337.01021999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.20248546-0.20325245) × cos(1.07230878) × R
    0.000766989999999995 × 0.478097688205388 × 6371000     		do = 2336.22114538013m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.20248546-0.20325245) × cos(1.07194196) × R
    0.000766989999999995 × 0.478419836483918 × 6371000     		du = 2337.79532078155m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.07230878)-sin(1.07194196))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.478097688205388-0.478419836483918)×R²
    abs(0.20325245-0.20248546)×0.00032214827853011×R²
    0.000766989999999995×0.00032214827853011×6371000²
    0.000766989999999995×0.00032214827853011×40589641000000     		ar = 5461612.18617597m²