Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4360 / 2840
↖ ↑ ↗
← N 48.224673°
E 11.601562°		 ← 3 255.44 m → N 48.224673°
E 11.645508°		 →
↑
3 256.41 m
↓
↑
3 256.41 m
↓
N 48.195387°
E 11.601562°		 ← 3 257.30 m →
10 604 069 m²		 N 48.195387°
E 11.645508°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4360 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2840 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.53228759765625 y=0.34674072265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.53228759765625 × 213)
    floor (0.53228759765625 × 8192)
    floor (4360.5)     		tx = 4360
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.34674072265625 × 213)
    floor (0.34674072265625 × 8192)
    floor (2840.5)     		ty = 2840
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4360 / 2840 ti = "13/4360/2840"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4360/2840.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4360 ÷ 213
    4360 ÷ 8192     		x = 0.5322265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2840 ÷ 213
    2840 ÷ 8192     		y = 0.3466796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5322265625 × 2 - 1) × π
    0.064453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.20248546
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3466796875 × 2 - 1) × π
    0.306640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.963339934764648
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.20248546} λ = 0.20248546}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.963339934764648))-π/2
    2×atan(2.62043395245206)-π/2
    2×1.20623782260396-π/2
    2.41247564520792-1.57079632675     		φ = 0.84167932
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.20248546} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.601562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84167932 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.224673°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4360 KachelY 2840 0.20248546 0.84167932 11.601562 48.224673
    Oben rechts KachelX + 1 4361 KachelY 2840 0.20325245 0.84167932 11.645508 48.224673
    Unten links KachelX 4360 KachelY + 1 2841 0.20248546 0.84116819 11.601562 48.195387
    Unten rechts KachelX + 1 4361 KachelY + 1 2841 0.20325245 0.84116819 11.645508 48.195387
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84167932-0.84116819) × R
    0.000511130000000026 × 6371000     		dl = 3256.40923000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84167932-0.84116819) × R
    0.000511130000000026 × 6371000     		dr = 3256.40923000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.20248546-0.20325245) × cos(0.84167932) × R
    0.000766989999999995 × 0.666211391183872 × 6371000     		do = 3255.43749274153m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.20248546-0.20325245) × cos(0.84116819) × R
    0.000766989999999995 × 0.666592485960353 × 6371000     		du = 3257.29970980966m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84167932)-sin(0.84116819))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.666211391183872-0.666592485960353)×R²
    abs(0.20325245-0.20248546)×0.000381094776481739×R²
    0.000766989999999995×0.000381094776481739×6371000²
    0.000766989999999995×0.000381094776481739×40589641000000     		ar = 10604069.0003408m²