Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4415 / 2623
↖ ↑ ↗
← N 54.188156°
E 14.018555°		 ← 2 859.21 m → N 54.188156°
E 14.062500°		 →
↑
2 860.13 m
↓
↑
2 860.13 m
↓
N 54.162434°
E 14.018555°		 ← 2 860.99 m →
8 180 268 m²		 N 54.162434°
E 14.062500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4415 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2623 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.53900146484375 y=0.32025146484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.53900146484375 × 213)
    floor (0.53900146484375 × 8192)
    floor (4415.5)     		tx = 4415
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.32025146484375 × 213)
    floor (0.32025146484375 × 8192)
    floor (2623.5)     		ty = 2623
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4415 / 2623 ti = "13/4415/2623"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4415/2623.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4415 ÷ 213
    4415 ÷ 8192     		x = 0.5389404296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2623 ÷ 213
    2623 ÷ 8192     		y = 0.3201904296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5389404296875 × 2 - 1) × π
    0.077880859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.24466994
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3201904296875 × 2 - 1) × π
    0.359619140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.12977685024548
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24466994} λ = 0.24466994}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.12977685024548))-π/2
    2×atan(3.09496578220627)-π/2
    2×1.25827902775166-π/2
    2.51655805550331-1.57079632675     		φ = 0.94576173
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24466994} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.018555°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94576173 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.188156°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4415 KachelY 2623 0.24466994 0.94576173 14.018555 54.188156
    Oben rechts KachelX + 1 4416 KachelY 2623 0.24543693 0.94576173 14.062500 54.188156
    Unten links KachelX 4415 KachelY + 1 2624 0.24466994 0.94531280 14.018555 54.162434
    Unten rechts KachelX + 1 4416 KachelY + 1 2624 0.24543693 0.94531280 14.062500 54.162434
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94576173-0.94531280) × R
    0.000448930000000014 × 6371000     		dl = 2860.13303000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94576173-0.94531280) × R
    0.000448930000000014 × 6371000     		dr = 2860.13303000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24466994-0.24543693) × cos(0.94576173) × R
    0.000766989999999995 × 0.585125329315008 × 6371000     		do = 2859.21099550681m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24466994-0.24543693) × cos(0.94531280) × R
    0.000766989999999995 × 0.585489326925804 × 6371000     		du = 2860.98966738954m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94576173)-sin(0.94531280))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.585125329315008-0.585489326925804)×R²
    abs(0.24543693-0.24466994)×0.000363997610796196×R²
    0.000766989999999995×0.000363997610796196×6371000²
    0.000766989999999995×0.000363997610796196×40589641000000     		ar = 8180267.56447266m²