Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 4416 / 2625
↖ ↑ ↗
← N 54.136696°
E 14.062500°		 ← 2 862.77 m → N 54.136696°
E 14.106446°		 →
↑
2 863.64 m
↓
↑
2 863.64 m
↓
N 54.110943°
E 14.062500°		 ← 2 864.55 m →
8 200 479 m²		 N 54.110943°
E 14.106446°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4416 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2625 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.53912353515625 y=0.32049560546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.53912353515625 × 213)
    floor (0.53912353515625 × 8192)
    floor (4416.5)     		tx = 4416
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.32049560546875 × 213)
    floor (0.32049560546875 × 8192)
    floor (2625.5)     		ty = 2625
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4416 / 2625 ti = "13/4416/2625"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4416/2625.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4416 ÷ 213
    4416 ÷ 8192     		x = 0.5390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2625 ÷ 213
    2625 ÷ 8192     		y = 0.3204345703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5390625 × 2 - 1) × π
    0.078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.24543693
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3204345703125 × 2 - 1) × π
    0.359130859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.12824286945764
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24543693} λ = 0.24543693}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.12824286945764))-π/2
    2×atan(3.09022180367356)-π/2
    2×1.25782996305057-π/2
    2.51565992610113-1.57079632675     		φ = 0.94486360
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24543693} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.062500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94486360 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.136696°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4416 KachelY 2625 0.24543693 0.94486360 14.062500 54.136696
    Oben rechts KachelX + 1 4417 KachelY 2625 0.24620392 0.94486360 14.106446 54.136696
    Unten links KachelX 4416 KachelY + 1 2626 0.24543693 0.94441412 14.062500 54.110943
    Unten rechts KachelX + 1 4417 KachelY + 1 2626 0.24620392 0.94441412 14.106446 54.110943
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94486360-0.94441412) × R
    0.000449480000000002 × 6371000     		dl = 2863.63708000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94486360-0.94441412) × R
    0.000449480000000002 × 6371000     		dr = 2863.63708000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24543693-0.24620392) × cos(0.94486360) × R
    0.000766989999999995 × 0.585853425350789 × 6371000     		do = 2862.76883190013m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24543693-0.24620392) × cos(0.94441412) × R
    0.000766989999999995 × 0.586217632404934 × 6371000     		du = 2864.54852722638m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94486360)-sin(0.94441412))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.585853425350789-0.586217632404934)×R²
    abs(0.24620392-0.24543693)×0.000364207054144416×R²
    0.000766989999999995×0.000364207054144416×6371000²
    0.000766989999999995×0.000364207054144416×40589641000000     		ar = 8200479.31732381m²