Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4482 / 2690
↖ ↑ ↗
← N 52.429222°
E 16.962891°		 ← 2 979.50 m → N 52.429222°
E 17.006836°		 →
↑
2 980.35 m
↓
↑
2 980.35 m
↓
N 52.402419°
E 16.962891°		 ← 2 981.31 m →
8 882 650 m²		 N 52.402419°
E 17.006836°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4482 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2690 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.54718017578125 y=0.32843017578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.54718017578125 × 213)
    floor (0.54718017578125 × 8192)
    floor (4482.5)     		tx = 4482
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.32843017578125 × 213)
    floor (0.32843017578125 × 8192)
    floor (2690.5)     		ty = 2690
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4482 / 2690 ti = "13/4482/2690"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4482/2690.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4482 ÷ 213
    4482 ÷ 8192     		x = 0.547119140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2690 ÷ 213
    2690 ÷ 8192     		y = 0.328369140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.547119140625 × 2 - 1) × π
    0.09423828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.29605829
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.328369140625 × 2 - 1) × π
    0.34326171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.07838849385278
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.29605829} λ = 0.29605829}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07838849385278))-π/2
    2×atan(2.93993800341013)-π/2
    2×1.24292943989319-π/2
    2.48585887978638-1.57079632675     		φ = 0.91506255
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.29605829} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.962891°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91506255 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.429222°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4482 KachelY 2690 0.29605829 0.91506255 16.962891 52.429222
    Oben rechts KachelX + 1 4483 KachelY 2690 0.29682528 0.91506255 17.006836 52.429222
    Unten links KachelX 4482 KachelY + 1 2691 0.29605829 0.91459475 16.962891 52.402419
    Unten rechts KachelX + 1 4483 KachelY + 1 2691 0.29682528 0.91459475 17.006836 52.402419
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91506255-0.91459475) × R
    0.000467800000000018 × 6371000     		dl = 2980.35380000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91506255-0.91459475) × R
    0.000467800000000018 × 6371000     		dr = 2980.35380000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.29605829-0.29682528) × cos(0.91506255) × R
    0.000766990000000023 × 0.60974099944977 × 6371000     		do = 2979.49530244928m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.29605829-0.29682528) × cos(0.91459475) × R
    0.000766990000000023 × 0.610111711339781 × 6371000     		du = 2981.30678361234m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91506255)-sin(0.91459475))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.60974099944977-0.610111711339781)×R²
    abs(0.29682528-0.29605829)×0.000370711890010811×R²
    0.000766990000000023×0.000370711890010811×6371000²
    0.000766990000000023×0.000370711890010811×40589641000000     		ar = 8882649.73611098m²