Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4484 / 2692
↖ ↑ ↗
← N 52.375599°
E 17.050781°		 ← 2 983.12 m → N 52.375599°
E 17.094726°		 →
↑
2 983.99 m
↓
↑
2 983.99 m
↓
N 52.348763°
E 17.050781°		 ← 2 984.93 m →
8 904 287 m²		 N 52.348763°
E 17.094726°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4484 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2692 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.54742431640625 y=0.32867431640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.54742431640625 × 213)
    floor (0.54742431640625 × 8192)
    floor (4484.5)     		tx = 4484
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.32867431640625 × 213)
    floor (0.32867431640625 × 8192)
    floor (2692.5)     		ty = 2692
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4484 / 2692 ti = "13/4484/2692"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4484/2692.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4484 ÷ 213
    4484 ÷ 8192     		x = 0.54736328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2692 ÷ 213
    2692 ÷ 8192     		y = 0.32861328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.54736328125 × 2 - 1) × π
    0.0947265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.29759227
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32861328125 × 2 - 1) × π
    0.3427734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.07685451306494
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.29759227} λ = 0.29759227}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07685451306494))-π/2
    2×atan(2.93543165220719)-π/2
    2×1.24246149005682-π/2
    2.48492298011364-1.57079632675     		φ = 0.91412665
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.29759227} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.050781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91412665 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.375599°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4484 KachelY 2692 0.29759227 0.91412665 17.050781 52.375599
    Oben rechts KachelX + 1 4485 KachelY 2692 0.29835926 0.91412665 17.094726 52.375599
    Unten links KachelX 4484 KachelY + 1 2693 0.29759227 0.91365828 17.050781 52.348763
    Unten rechts KachelX + 1 4485 KachelY + 1 2693 0.29835926 0.91365828 17.094726 52.348763
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91412665-0.91365828) × R
    0.000468369999999996 × 6371000     		dl = 2983.98526999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91412665-0.91365828) × R
    0.000468369999999996 × 6371000     		dr = 2983.98526999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.29759227-0.29835926) × cos(0.91412665) × R
    0.000766990000000023 × 0.61048252732382 × 6371000     		do = 2983.11877343018m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.29759227-0.29835926) × cos(0.91365828) × R
    0.000766990000000023 × 0.610853423311212 × 6371000     		du = 2984.93115418385m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91412665)-sin(0.91365828))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.61048252732382-0.610853423311212)×R²
    abs(0.29835926-0.29759227)×0.000370895987391928×R²
    0.000766990000000023×0.000370895987391928×6371000²
    0.000766990000000023×0.000370895987391928×40589641000000     		ar = 8904286.70009036m²