Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 45058 / 45058
↖ ↑ ↗
← S 55.782752°
E 67.510986°		 ← 343.50 m → S 55.782752°
E 67.516480°		 →
↑
343.46 m
↓
↑
343.46 m
↓
S 55.785840°
E 67.510986°		 ← 343.47 m →
117 975 m²		 S 55.785840°
E 67.516480°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45058 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45058 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.687538146972656 y=0.687538146972656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.687538146972656 × 216)
    floor (0.687538146972656 × 65536)
    floor (45058.5)     		tx = 45058
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.687538146972656 × 216)
    floor (0.687538146972656 × 65536)
    floor (45058.5)     		ty = 45058
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 45058 / 45058 ti = "16/45058/45058"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/45058/45058.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45058 ÷ 216
    45058 ÷ 65536     		x = 0.687530517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45058 ÷ 216
    45058 ÷ 65536     		y = 0.687530517578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.687530517578125 × 2 - 1) × π
    0.37506103515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.17828899
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.687530517578125 × 2 - 1) × π
    -0.37506103515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.17828899266098
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.17828899} λ = 1.17828899}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.17828899266098))-π/2
    2×atan(0.30780494482098)-π/2
    2×0.298601823867395-π/2
    0.59720364773479-1.57079632675     		φ = -0.97359268
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.17828899} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.510986°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97359268 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.782752°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45058 KachelY 45058 1.17828899 -0.97359268 67.510986 -55.782752
    Oben rechts KachelX + 1 45059 KachelY 45058 1.17838487 -0.97359268 67.516480 -55.782752
    Unten links KachelX 45058 KachelY + 1 45059 1.17828899 -0.97364659 67.510986 -55.785840
    Unten rechts KachelX + 1 45059 KachelY + 1 45059 1.17838487 -0.97364659 67.516480 -55.785840
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97359268--0.97364659) × R
    5.39099999999904e-05 × 6371000     		dl = 343.460609999939m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97359268--0.97364659) × R
    5.39099999999904e-05 × 6371000     		dr = 343.460609999939m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.17828899-1.17838487) × cos(-0.97359268) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.562332338875607 × 6371000     		do = 343.501541453801m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.17828899-1.17838487) × cos(-0.97364659) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.562287759268908 × 6371000     		du = 343.474309935071m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97359268)-sin(-0.97364659))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.562332338875607-0.562287759268908)×R²
    abs(1.17838487-1.17828899)×4.45796066994575e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.45796066994575e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.45796066994575e-05×40589641000000     		ar = 117974.572515312m²