Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 45096 / 12328
↖ ↑ ↗
← N 73.958939°
E 67.719727°		 ← 168.78 m → N 73.958939°
E 67.725220°		 →
↑
168.77 m
↓
↑
168.77 m
↓
N 73.957421°
E 67.719727°		 ← 168.79 m →
28 485 m²		 N 73.957421°
E 67.725220°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45096 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12328 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.688117980957031 y=0.188117980957031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.688117980957031 × 216)
    floor (0.688117980957031 × 65536)
    floor (45096.5)     		tx = 45096
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.188117980957031 × 216)
    floor (0.188117980957031 × 65536)
    floor (12328.5)     		ty = 12328
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 45096 / 12328 ti = "16/45096/12328"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/45096/12328.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45096 ÷ 216
    45096 ÷ 65536     		x = 0.6881103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12328 ÷ 216
    12328 ÷ 65536     		y = 0.1881103515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6881103515625 × 2 - 1) × π
    0.376220703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.18193220
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1881103515625 × 2 - 1) × π
    0.623779296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.9596604564679
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18193220} λ = 1.18193220}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.9596604564679))-π/2
    2×atan(7.09691694376308)-π/2
    2×1.43081166070401-π/2
    2.86162332140802-1.57079632675     		φ = 1.29082699
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18193220} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.719727°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29082699 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.958939°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45096 KachelY 12328 1.18193220 1.29082699 67.719727 73.958939
    Oben rechts KachelX + 1 45097 KachelY 12328 1.18202807 1.29082699 67.725220 73.958939
    Unten links KachelX 45096 KachelY + 1 12329 1.18193220 1.29080050 67.719727 73.957421
    Unten rechts KachelX + 1 45097 KachelY + 1 12329 1.18202807 1.29080050 67.725220 73.957421
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29082699-1.29080050) × R
    2.64899999999901e-05 × 6371000     		dl = 168.767789999937m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29082699-1.29080050) × R
    2.64899999999901e-05 × 6371000     		dr = 168.767789999937m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18193220-1.18202807) × cos(1.29082699) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.276326179394178 × 6371000     		do = 168.776650904787m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18193220-1.18202807) × cos(1.29080050) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.276351637880247 × 6371000     		du = 168.79220063672m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29082699)-sin(1.29080050))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.276326179394178-0.276351637880247)×R²
    abs(1.18202807-1.18193220)×2.54584860689966e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.54584860689966e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.54584860689966e-05×40589641000000     		ar = 28485.3745254312m²