Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 4512 / 2464
↖ ↑ ↗
← N 58.077876°
E 18.281250°		 ← 2 583.81 m → N 58.077876°
E 18.325195°		 →
↑
2 584.65 m
↓
↑
2 584.65 m
↓
N 58.054632°
E 18.281250°		 ← 2 585.49 m →
6 680 427 m²		 N 58.054632°
E 18.325195°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4512 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2464 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.55084228515625 y=0.30084228515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.55084228515625 × 213)
    floor (0.55084228515625 × 8192)
    floor (4512.5)     		tx = 4512
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.30084228515625 × 213)
    floor (0.30084228515625 × 8192)
    floor (2464.5)     		ty = 2464
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4512 / 2464 ti = "13/4512/2464"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4512/2464.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4512 ÷ 213
    4512 ÷ 8192     		x = 0.55078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2464 ÷ 213
    2464 ÷ 8192     		y = 0.30078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55078125 × 2 - 1) × π
    0.1015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.31906800
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30078125 × 2 - 1) × π
    0.3984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.25172832287891
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31906800} λ = 0.31906800}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25172832287891))-π/2
    2×atan(3.49638061305668)-π/2
    2×1.29222324510814-π/2
    2.58444649021628-1.57079632675     		φ = 1.01365016
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31906800} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.281250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01365016 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.077876°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4512 KachelY 2464 0.31906800 1.01365016 18.281250 58.077876
    Oben rechts KachelX + 1 4513 KachelY 2464 0.31983499 1.01365016 18.325195 58.077876
    Unten links KachelX 4512 KachelY + 1 2465 0.31906800 1.01324447 18.281250 58.054632
    Unten rechts KachelX + 1 4513 KachelY + 1 2465 0.31983499 1.01324447 18.325195 58.054632
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01365016-1.01324447) × R
    0.000405690000000014 × 6371000     		dl = 2584.65099000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01365016-1.01324447) × R
    0.000405690000000014 × 6371000     		dr = 2584.65099000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31906800-0.31983499) × cos(1.01365016) × R
    0.000766989999999967 × 0.528766113348559 × 6371000     		do = 2583.812064857m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31906800-0.31983499) × cos(1.01324447) × R
    0.000766989999999967 × 0.529110406343535 × 6371000     		du = 2585.49445026675m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01365016)-sin(1.01324447))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.528766113348559-0.529110406343535)×R²
    abs(0.31983499-0.31906800)×0.000344292994976181×R²
    0.000766989999999967×0.000344292994976181×6371000²
    0.000766989999999967×0.000344292994976181×40589641000000     		ar = 6680426.69258754m²