Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 45344 / 12576
↖ ↑ ↗
← N 73.578167°
E 69.082031°		 ← 172.67 m → N 73.578167°
E 69.087524°		 →
↑
172.72 m
↓
↑
172.72 m
↓
N 73.576614°
E 69.082031°		 ← 172.69 m →
29 825 m²		 N 73.576614°
E 69.087524°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45344 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12576 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.691902160644531 y=0.191902160644531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.691902160644531 × 216)
    floor (0.691902160644531 × 65536)
    floor (45344.5)     		tx = 45344
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.191902160644531 × 216)
    floor (0.191902160644531 × 65536)
    floor (12576.5)     		ty = 12576
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 45344 / 12576 ti = "16/45344/12576"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/45344/12576.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45344 ÷ 216
    45344 ÷ 65536     		x = 0.69189453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12576 ÷ 216
    12576 ÷ 65536     		y = 0.19189453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.69189453125 × 2 - 1) × π
    0.3837890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.20570890
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.19189453125 × 2 - 1) × π
    0.6162109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.93588375425635
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.20570890} λ = 1.20570890}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.93588375425635))-π/2
    2×atan(6.930165913494)-π/2
    2×1.42748880153666-π/2
    2.85497760307332-1.57079632675     		φ = 1.28418128
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.20570890} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 69.082031°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28418128 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.578167°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45344 KachelY 12576 1.20570890 1.28418128 69.082031 73.578167
    Oben rechts KachelX + 1 45345 KachelY 12576 1.20580477 1.28418128 69.087524 73.578167
    Unten links KachelX 45344 KachelY + 1 12577 1.20570890 1.28415417 69.082031 73.576614
    Unten rechts KachelX + 1 45345 KachelY + 1 12577 1.20580477 1.28415417 69.087524 73.576614
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28418128-1.28415417) × R
    2.71099999999969e-05 × 6371000     		dl = 172.71780999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28418128-1.28415417) × R
    2.71099999999969e-05 × 6371000     		dr = 172.71780999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.20570890-1.20580477) × cos(1.28418128) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.282706982415702 × 6371000     		do = 172.673967353112m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.20570890-1.20580477) × cos(1.28415417) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.282732986395114 × 6371000     		du = 172.689850265708m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28418128)-sin(1.28415417))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.282706982415702-0.282732986395114)×R²
    abs(1.20580477-1.20570890)×2.60039794123812e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.60039794123812e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.60039794123812e-05×40589641000000     		ar = 29825.2411182526m²